机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（25）：幂级数（补充知识）

Posted 2022-01-19 海轰Pro

目录

• 前言
• 往期文章
• 幂级数
• • 一、函数项级数的概念
  • • 定义：（函数项）无穷级数
  • 幂级数及其收敛性
  • • 幂级数
    • 定理1（阿贝尔定理）
    • 推论
    • 定理2
• 结语

前言

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幂级数

一、函数项级数的概念

定义：（函数项）无穷级数

如果给定一个定义在区间$I$上的函数列

$$u_1(x),u_2(x),u_3(x),...,u_n(x),...,$$

那么由这函数列所构成的表达式

$$u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+...$$

称为定义在区间$I$上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数

---

对于每一个确定的值$x_0\in I$，函数项级数成为常数项级数

$$u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+...+u_n(x_0)+...$$

这个级数可能收敛，也可能发散

如果这个级数收敛，就称点$x_0$是函数项级数的收敛点

如果这个级数发散，就称点$x_0$是函数项级数的发散点

函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域

幂级数及其收敛性

幂级数

各项都是常数乘以幂函数的函数项级数，即为幂级数，形式为

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n+....$$

其中常数$a_0,a_1,a_2,...,a_n,...$叫做幂级数的系数

定理1（阿贝尔定理）

推论

定理2

结语

说明：

• 参考于 课本《高等数学》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

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