学习笔记统计推断（高级统计学）Updating
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了学习笔记统计推断（高级统计学）Updating相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
高级统计学笔记
本课程的教材为 Casella \\textCasella Casella的统计推断（ Statistical Inference \\textStatistical Inference Statistical Inference），教材文件与课后习题答案已上传至：
链接: https://pan.baidu.com/s/1dlFvXHWUZdJayW4g_DNrWQ 提取码: s35h课后习题答案有一些题目是缺失的，笔者将挑选作业中涉及的更新至本文的最后一部分中。
本文持续更新至本学期结束。
文章目录
Chapter 1 概率理论
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命题：均匀分布的最大次序统计量是 β \\beta β分布，它的期望为 n n + 1 \\fracnn+1 n+1n
关于次序统计量的计算公式：
Pr ( Y ( i ) ≤ x ) = ∑ j = 0 i − 1 C n j ( 1 − F ( x ) ) j F ( x ) n − j \\Pr(Y^(i)\\le x)=\\sum_j=0^i-1C_n^j(1-F(x))^jF(x)^n-j Pr(Y(i)≤x)=j=0∑i−1Cnj(1−F(x))jF(x)n−j
特别地，最大次序统计量为 Y ( 1 ) = F ( x ) n Y^(1)=F(x)^n Y(1)=F(x)n，最小次序统计量为 Y ( n ) = ∑ j = 0 n − 1 C n j ( 1 − F ( x ) ) j F ( x ) n − j Y^(n)=\\sum_j=0^n-1C_n^j(1-F(x))^jF(x)^n-j Y(n)=∑j=0n−1Cnj(1−F(x))jF(x)n−j -
β \\beta β分布： X ∼ Be ( α , β ) X\\sim\\textBe(\\alpha,\\beta) X∼Be(α,β)
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概率密度函数：
f ( x ; α , β ) = Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 = 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 f(x;\\alpha,\\beta)=\\frac\\Gamma(\\alpha+\\beta)\\Gamma(\\alpha)\\Gamma(\\beta)x^\\alpha-1(1-x)^\\beta-1=\\frac1B(\\alpha,\\beta)x^\\alpha-1(1-x)^\\beta-1 f(x;α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)xα−1(1−x)β−1=B(α,β)1xα−1(1−x)β−1
其中 Γ ( x ) = ∫ 0 + ∞ t x − 1 e − t d t \\Gamma(x)=\\int_0^+\\inftyt^x-1e^-t\\textdt Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt， x > 0 x>0 x>0，具有性质 Γ ( n + 1 ) = x Γ ( n ) \\Gamma(n+1)=x\\Gamma(n) Γ(n+1)=xΓ(n) -
众数： α − 1 α + β − 2 \\frac\\alpha-1\\alpha+\\beta-2 α+β−2α−1
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数学期望： μ = E ( X ) = α α + β \\mu=\\mathbbE(X)=\\frac\\alpha\\alpha+\\beta μ=E(X)=α+βα
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方差： Var ( X ) = E ( X − μ ) 2 = α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) \\textVar(X)=\\mathbbE(X-\\mu)^2=\\frac\\alpha\\beta(\\alpha+\\beta)^2(\\alpha+\\beta+1) Var(X)=E(X−μ)2=(α+β)2(α+β+1)αβ
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样本空间 S \\mathcalS S：特定实验的所有可能结果（可数或不可数）
抛两次硬币： S = ( H , H ) , ( H , T ) , ( T , H ) , ( T , T ) \\mathcalS=\\(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)\\ S=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)
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事件 A A A： S \\mathcalS S的任意子集称为事件
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互斥：称事件 A A A和事件 B B B不相交（互斥），若 A ∩ B = ∅ A\\cap B=\\emptyset A∩B=∅
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两两不相交：称事件族 A k k = 1 n \\A_k\\_k=1^n Akk=1n两两不相交，若 ∀ i ≠ j \\forall i\\neq j ∀i=j满足 A i ∩ A j = ∅ A_i\\cap A_j=\\emptyset Ai∩Aj=∅
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划分：称事件族 A k k = 1 n \\A_k\\_k=1^n Akk=1n是 S \\mathcalS S的划分，若事件族描述统计 | 学习笔记 (全)