好玩的位运算1：找数组中找成对和不成对

Posted 2022-01-19 纵横千里，捭阖四方

如果会位操作的话，很多题目特别简单，如果不知道想用其他结构来做的话，很多会非常难，而且麻烦。我们看一个经典的题目：一个数组里除了某一个数字之外，其他的数字都出现了两次，请写程序找到这个只出现一次的数字。

这个题如果采用Hash等方式虽然能做，就是先遍历一遍计数，然后再遍历一次找满足要求的结果，这样能做但是效果非常不好。如果采用位运算就非常简单，我们知道位运算具体来说包括与或非、异或等几种，异或是一种比较特殊的操作，特点是满足以下性质：

A^A=0
A^0=A
A^A ^B=B
交换律：A^B ^C=A ^C ^B
结合律：A^B ^C=A ^(B ^C)

一个数和它自己异或就同归于尽了，这个性质在很多算法题中有妙用，包括本题。而且这个特征即使两个相同的数字不在靠近的位置仍然有效，也就是如果A^B ^A=B仍然成立。所以这个问题的实现就很容易了：

public static int findNumAppearOnce(int[] arr) 
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) 
            result ^= arr[i];
        
        return result;

这个题用Hash和计数方式也能做，思路也不复杂，这个可以可以使用一个Map，Map对应的键值key就是数组中的元素，value就是这个元素出现的次数。这样我 通过一次遍历数组中的元素，如果元素出现在map中，则将其对应的value加1，否则将元素添加到map中，这样遍历一遍数组，我们就可以得到数组中每个元素对应出现的次数，然后再通过遍历一遍map，返回value为1对应的key就是我们需要求得元素。实现如下：

 public static void findNumsAppearOnce1(int[] arr) 
        //Map对应的键值key就是数组中的元素，value就是这个元素出现的次数
        Map<Integer, Integer> hashMap = new HashMap<Integer, Integer>();
        for (int i : arr) 
            if (hashMap.containsKey(i)) 
                hashMap.put(i, hashMap.get(i) + 1); //如果存在，value值加1
             else 
                hashMap.put(i, 1); //如果不存在，存入hashMap,value值等于1
            
        

        //遍历一遍map，返回value为1对应的key就是我们需要求得元素
        Set<Integer> set = hashMap.keySet();
        for (int i : set) 
            if (hashMap.get(i) == 1) 
                System.out.print(i+" ");
            
        
    

很明显这么做的代价很高的。时间复杂度方面：因为首先需要遍历一遍数组，时间开销为O(n)，构建完map后需要遍历一遍map找到value为1的元素，而map的个数为n/2，时间开销为O(n/2)，所以总的时间开销为O(n)。 空间复杂度方面：因为需要建立一个map，而且最后map的大小为n/2，所以空间复杂度为O(n)。

而如果使用位操作，简单直接，再看一个题目：

1-1000这1000个数放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其他均只出现一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将他找出来；不用辅助存储空间，能否设计一个算法实现？

1000个数中只有一个会冲突，很显然这不是面试官想要的解答

我们要想办法将不重复的那999个干掉，剩下的自然就是重复的了，该怎么做呢？题目要求里说1-1000这1000个数放在含有1001个元素的数组，这个条件非常重要，也就是说数组里一定包含1到1000的，只不过不一定有序，那么我们可以再拿一个大小为1000的newArray[]与原始数组initArray[]进行异或，那么自然重复的999个就消失了。而有重复的那个元素，例如是9，在newArray[]和initArray[]中一次出现了三次，而其中两个抵消了，最后剩下的就是剩余的了，因此这就是我们要找的那个。

import java.util.*;
public class UniqueNumber 
public static void main(String[] args) 
	int N=1001;
	int []arr =new int[N];
//	前N-1位为从1到N-1
	for(int i=0;i<N-1;i++)
	
		arr[i]=i+1;
	
//	第N位为随机产生的一个1到N-1的数字
	arr[N-1]=new Random().nextInt(N-1)+1;
	for(int i=0;i<N;i++)
	
		System.out.print(" "+arr[i]);
	

//	只要将两个数组的元素全部异或一下就行，顺序无所谓，所以这里先异或一下
	int x=0;
	 for(int i=1;i<N;i++)
	 
		x=x^i;
	
	for(int i=0;i<arr.length;i++)
	
		x=x^arr[i];
	
	System.out.println("唯一成对的那个数是："+x);
 

这个方法还可以使用辅助空间等，比较难理解，而且容易将自己绕晕，位运算最合适。