hdu4609 3-idiots

Posted 2022-01-18 Jozky86

hdu4609 3-idiots

题意：

给出n个木棍以及它们的长度，求取其中三根长度各不相同的木棍组成三角形的概率

题解：

三角形满足条件：
任意两边之和大于第三边
我们设多项式A(x），其中$C_i{x}^i(C_i是系数)$表示长度为i的木棍个数是$C_i$。那么多项式$A(x)\ast A(x)$中$x^i$前面的系数表示用两根木棍拼成长度为i的木棍的方案数，多项式相乘利用FFT加速O(nlogn)
对于两根木棍拼成的长度i，只要我们找到一个木棍x长度为j，j小于i，且木棍x为最长，那就是一个合法的三角形
我们维护一个后缀和sum[i]:表示对于所有j>=i,$A(x{)}^2$多项式中$x^j$前面的系数和，也就是用两个木根拼成长度大于等于i的方案数
现在我们枚举三根棍子中最长的那根木棍的长度为len，求最长木棍是len，三根木棍互不相同并能组成三角形的方案数。
对于最长为a[i],方案数为sum[a[i]+1]，但是要减去很多不合法的情况，看下面的详细讨论

for(int i=1;i<=n;i++)
            sum[a[i]+a[i]]--;//把自己配自己的情况去掉 
            
        for(int i=1;i<=len;i++)
            sum[i]/=2;//把a和b组合==b和a组合，会重复，除以2 
            
        for(int i=len-1;i>=0;i--)
            sum[i]+=sum[i+1];//求出方案前缀和 
 
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        
            ans+=sum[a[i]+1];//大于a[i]的方案数
            ans-=1ll*(n-i)*(i-1);//减掉一个大于a[i]，一个小于a[i]的情况 
            ans-=1ll*(n-1);//减去一个选了自己，另一个任意选的情况
            ans-=1ll*(n-i)*(n-i-1)/2;//减去两个边都大于它的情况
        

因为题目要求的是概率，所以再除以$C_n^3$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI=acos(-1.0);
struct Complex
    double x,y;
    Complex(double _x=0.0,double _y=0.0)
        x=_x;
        y=_y;
    
    Complex operator -(const Complex &b)const
        return Complex(x-b.x,y-b.y);
    
    Complex operator +(const Complex &b)const
        return Complex(x+b.x,y+b.y);
    
    Complex operator *(const Complex &b)const
        return Complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);
    
;
void change(Complex y[],int len)

    int i,j,k;
    for(i=1,j=len/2;i<len-1;i++)
    
        if(i<j) swap(y[i],y[j]);
        k=len/2;
        while(j>=k)
        
            j-=k;
            k/=2;
        
        if(j<k)j+=k;
    

void fft(Complex y[],int len,int on)

    change(y,len);
    for(int h=2;h<=len;h<<=1)
    
        Complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));
        for(int j=0;j<len;j+=h)
        
            Complex w(1,0);
            for(int k=j;k<j+h/2;k++)
            
                Complex u=y[k];
                Complex t=w*y[k+h/2];
                y[k]=u+t;
                y[k+h/2]=u-t;
                w=w*wn;
            
        
    
    if(on==-1)
        for(int i=0;i<len;i++)
        y[i].x/=len;

const int MAXN=400010;
Complex x1[MAXN],x2[MAXN];
int str1[MAXN/2],str2[MAXN/2],a[MAXN];
ll sum[MAXN];
int t,n;
int main()

    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    
        scanf("%d",&n);
        memset(str1,0,sizeof str1);
        memset(str2,0,sizeof str2);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        
            scanf("%d",&a[i]);
            str1[a[i]]++;
            str2[a[i]]++;
        
        sort(a+1,a+n+1);
        int len1=a[n]+1;
        int len2=a[n]+1;
        int len=1;
        while(len<len1*2||len<len2*2) len<<=1;
        for(int i=0;i<len1;i++)
            x1[i]=Complex(str1[i],0);
        for(int i=len1;i<len;i++)
            x1[i]=Complex(0,0);
        for(int i=0;i<len2;i++)
            x2[i]=Complex(str2[i],0);
        for(int i=len2;i<len;i++)
            x2[i]=Complex(0,0);
        fft(x1,len,1);
        fft(x2,len,1);
        for(int i=0;i<len;i++)
            x1[i]=x1[i]*x2[i];
        fft(x1,len,-1);
        for(int i=0;i<len;i++)
            sum[i]=(ll)(x1[i].x+0.5);
 
        len=len1+len2-1;
 
        for(int i=1;i<=n;i++)
            sum[a[i]+a[i]]--;//把自己配自己的情况去掉 
            
        for(int i=1;i<=len;i++)
            sum[i]/=2;//把a和b组合==b和a组合，会重复，除以2 
            
        for(int i=len-1;i>=0;i--)
            sum[i]+=sum[i+1];//求出方案前缀和 
 
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        
            ans+=sum[a[i]+1];//大于a[i]的方案数
            ans-=1ll*(n-i)*(i-1);//减掉一个大于a[i]，一个小于a[i]的情况 
            ans-=1ll*(n-1);//减去一个选了自己，另一个任意选的情况
            ans-=1ll*(n-i)*(n-i-1)/2;//减去两个边都大于它的情况
        
        ll w=1ll*n*(n-1)*(n-2)/6;
        printf("%.7f\\n",(double)ans/w);
    
	return 0;