数据结构与算法之深入解析“石子游戏III”的求解思路与算法示例

Posted 2022-01-17 Forever_wj

一、题目要求

• Alice 和 Bob 用几堆石子在做游戏。几堆石子排成一行，每堆石子都对应一个得分，由数组 stoneValue 给出。
• Alice 和 Bob 轮流取石子，Alice 总是先开始，在每个玩家的回合中，该玩家可以拿走剩下石子中的的前 1、2 或 3 堆石子，比赛一直持续到所有石头都被拿走。
• 每个玩家的最终得分为他所拿到的每堆石子的对应得分之和，每个玩家的初始分数都是 0，比赛的目标是决出最高分，得分最高的选手将会赢得比赛，比赛也可能会出现平局。
• 假设 Alice 和 Bob 都采取最优策略，如果 Alice 赢了就返回 “Alice” ，Bob 赢了就返回 “Bob”，平局（分数相同）返回 “Tie” 。
• 示例 1：

输入：values = [1,2,3,7]
输出："Bob"
解释：Alice 总是会输，她的最佳选择是拿走前三堆，得分变成 6，但是 Bob 的得分为 7，Bob 获胜。

• 示例 2：

输入：values = [1,2,3,-9]
输出："Alice"
解释：Alice 要想获胜就必须在第一个回合拿走前三堆石子，给 Bob 留下负分。
如果 Alice 只拿走第一堆，那么她的得分为 1，接下来 Bob 拿走第二、三堆，得分为 5，之后 Alice 只能拿到分数 -9 的石子堆，输掉比赛。
如果 Alice 拿走前两堆，那么她的得分为 3，接下来 Bob 拿走第三堆，得分为 3，之后 Alice 只能拿到分数 -9 的石子堆，同样会输掉比赛。
注意，他们都应该采取最优策略 ，所以在这里 Alice 将选择能够使她获胜的方案。

• 示例 3：

输入：values = [1,2,3,6]
输出："Tie"
解释：Alice 无法赢得比赛，如果她决定选择前三堆，她可以以平局结束比赛，否则她就会输。

• 示例 4：

输入：values = [1,2,3,-1,-2,-3,7]
输出："Alice"

• 示例 5：

输入：values = [-1,-2,-3]
输出："Tie"

二、求解算法

① 动态规划（Leetcode 官方解法）

• 对于这种两个玩家、分先后手、博弈类型的题目，一般可以使用动态规划来解决。
• 由于玩家只能拿走前面的石子，因此我们考虑使用状态 f[i] 表示还剩下第 i,i+1,⋯,n−1 堆石子时，当前玩家（也就是当前准备拿石子的那一名玩家）的某一个状态。这个「某一个状态」具体是什么状态，我们暂且不表，这里带着大家一步一步来分析这个状态。
• 根据题目描述，当前玩家有三种策略可以选择，即取走前 1、2 或 3 堆石子，那么留给 下一位玩家（也就是下一个准备拿石子的那一名玩家） 的状态为 f[i+1]、f[i+2] 或 f[i+3]，设想一下，假如你是当前玩家，你希望 f[i] 表示什么，才可以帮助你选择自己的最优策略呢？
• 我相信聪明的你可能会想到：希望 f[i] 表示还剩下第 i,i+1,⋯,n−1 堆石子时，当前玩家最多能从剩下的石子中拿到的石子数目（这个「剩下」的意义是，如果 i,i+1,⋯n−1 堆石子的总数是 t，Alice 拿走了 x，Bob 就拿走了 t−x，也就是我们只讨论 i,i+1,⋯n−1 堆石子，而不讨论对 0,1,⋯,i−1 堆石子 Alice 和 Bob 作出了怎样的决策）。这样一来：
• • 如果当前玩家选择了一堆石子，那么留给下一位玩家的状态为 f[i+1]，表示他可以最多拿到 f[i+1] 数量的石子。之前的定义中，f[i+1] 是表示当前玩家最多能拿到的石子数目，为什么这里变成了下一位玩家呢？仔细想想，「当前玩家」和「下一位玩家」的概念其实是相对的。在「当前玩家」拿完石子后，「下一位玩家」就成了此时的「当前玩家」）。由于下一位玩家可以拿 f[i+1] 数量的石子，如果我们用 sum(l,r) 表示第 l,l+1,⋯,r 堆石子的的数量之和，那么当前玩家就可以拿到 sum(i+1,n−1)−f[i+1] 数量的石子，加上当前玩家选择了一堆石子，它一共可以拿到 sum(i,i)+sum(i+1,n−1)−f[i+1] 数量的石子。可以发现，它可以化简为 sum(i,n−1)−f[i+1]；
• • 同理，如果当前玩家选择了两堆石子，那么留给下一位玩家的状态为 f[i+2]，当前玩家一共可以拿到 sum(i,n−1)−f[i+2] 数量的石子；
• • 同理，如果当前玩家选择了三堆石子，那么留给下一位玩家的状态为 f[i+3]，当前玩家一共可以拿到 sum(i,n−1)−f[i+3] 数量的石子。
• 这样以来，当前玩家只要选择上面三种情况中能拿到最多数量的石子的方案，就是他的最优策略。
• 因此，我们就可以用动态规划来解决这个问题，首先处理出表示石子数量的数组 values 的后缀和，方便我们快速地求出 sum(l,r)。随后，我们就可以倒序地进行动态规划（因为在计算 f[i] 的值的时候，需要已经求出 f[i+1]，f[i+2] 和 f[i+3] 的值），状态转移方程为：

• 最后的 f[0] 就表示 Alice 最多可以获得的石子数量，根据 f[0] 与 sum(0,n−1) 的关系，就可以得到最终的获胜者。
• C++ 示例：

class Solution 
public:
    string stoneGameIII(vector<int>& stoneValue) 
        int n = stoneValue.size();
        
        vector<int> suffix_sum(n);
        suffix_sum[n - 1] = stoneValue[n - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) 
            suffix_sum[i] = suffix_sum[i + 1] + stoneValue[i];
        

        vector<int> f(n + 1);
        // 边界情况，当没有石子时，分数为 0
        // 为了代码的可读性，显式声明
        f[n] = 0;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) 
            int bestj = f[i + 1];
            for (int j = i + 2; j <= i + 3 && j <= n; ++j) 
                bestj = min(bestj, f[j]);
            
            f[i] = suffix_sum[i] - bestj;
        
        
        int total = accumulate(stoneValue.begin(), stoneValue.end(), 0);
        if (f[0] * 2 == total) 
            return "Tie";
        
        else 
            return f[0] * 2 > total ? "Alice" : "Bob";
        
    
;

• Java 示例：

class Solution 
    public String stoneGameIII(int[] stoneValue) 
        int n = stoneValue.length;
        int[] suffixSum = new int[n];
        suffixSum[n - 1] = stoneValue[n - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) 
            suffixSum[i] = suffixSum[i + 1] + stoneValue[i];
        
        int[] f = new int[n + 1];
        // 边界情况，当没有石子时，分数为 0
        // 为了代码的可读性，显式声明
        f[n] = 0;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) 
            int bestj = f[i + 1];
            for (int j = i + 2; j <= i + 3 && j <= n; ++j) 
                bestj = Math.min(bestj, f[j]);
            
            f[i] = suffixSum[i] - bestj;
        
        int total = 0;
        for (int value : stoneValue) 
            total += value;
        
        if (f[0] * 2 == total) 
            return "Tie";
         else 
            return f[0] * 2 > total ? "Alice" : "Bob";
        
    

• 更聪明的你可能会想到另外一种思路：希望 f[i] 表示还剩下第 i,i+1,⋯,n−1 堆石子时，当前玩家比下一位玩家最多能多拿到的石子数目（注意此时依旧是在剩下的石子中定义的），这样一来：
• • 如果当前玩家选择了一堆石子，那么留给下一位玩家的状态为 f[i+1]，表示下一位玩家最多最多可以比当前玩家多拿到 f[i+1] 数量的石子。那么当前玩家可以比下一位玩家多拿到 value[i]−f[i+1] 数量的石子；
• • 同理，如果当前玩家选择了两堆石子，那么留给下一位玩家的状态为 f[i+2]，当前玩家可以比下一位玩家多拿到 value[i]+value[i+1]−f[i+2] 数量的石子；
• • 同理，如果当前玩家选择了三堆石子，那么留给下一位玩家的状态为 f[i+3]，当前玩家可以比下一位玩家多拿到 value[i]+value[i+1]+value[i+2]−f[i+3] 数量的石子；
• 这样一来，当前玩家只要选择上面三种情况中能比下一位玩家多拿到最多数量的石子的方案，就是他的最优策略。
• 因此，就可以写出使用另一种动态规划的状态转移方程：

• 最后的 f[0] 就表示 Alice 最多可以比 Bob 多获得的石子数量，根据 f[0] 与 0 的关系，就可以得到最终的获胜者。
• C++ 示例：

class Solution 
public:
    string stoneGameIII(vector<int>& stoneValue) 
        int n = stoneValue.size();
        
        vector<int> f(n + 1, INT_MIN);
        // 边界情况，当没有石子时，分数为 0
        f[n] = 0;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) 
            int pre = 0;
            for (int j = i + 1; j <= i + 3 && j <= n; ++j) 
                pre += stoneValue[j - 1];
                f[i] = max(f[i], pre - f[j]);
            
        
        
        if (f[0] == 0) 
            return "Tie";
        
        else 
            return f[0] > 0 ? "Alice" : "Bob";
        
    
;

• Java 示例：

class Solution 
    public String stoneGameIII(int[] stoneValue) 
        int n = stoneValue.length;
        int[] f = new int[n + 1];
        Arrays.fill(f, Integer.MIN_VALUE);
        // 边界情况，当没有石子时，分数为 0
        f[n] = 0;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) 
            int pre = 0;
            for (int j = i + 1; j <= i + 3 && j <= n; ++j) 
                pre += stoneValue[j - 1];
                f[i] = Math.max(f[i], pre - f[j]);
            
        
        if (f[0] == 0) 
            return "Tie";
         else 
            return f[0] > 0 ? "Alice" : "Bob";
        
    

② 双人博弈通用解法—记忆化 DFS

• AB 先后手博弈问题技巧：
• • 以元组记录结果 dp[0]: 先手获得的最大石子数, dp[1]: 后手获得的最大石子数；
• • A 先手后，以剩下的石子来看， B 是先手， A 是后手；
• 此题 dfs 搜索先手可以选择的情况，找出最优即可；增加备忘录 dp 数组记录结果，减少重复子问题。
• Java 示例：

class Solution 
    // dp[i][0]表示 piles[i~end]，先手获得的最大分数；
    // dp[i][1]表示 piles[i~end]，后手获得的最大分数；
    int[][] dp;
    public String stoneGameIII(int[] piles) 
        dp = new int[piles.length][2];
        for (int i = 0; i < piles.length; i++) 
            dp[i][0] = Integer.MIN_VALUE;
        
        int[] res = dfs(piles, 0);
        if (res[0] == res[1]) 
            return "Tie";
         else if(res[0] > res[1]) 
            return "Alice";
         else 
            return "Bob";
        
    

    public int[] dfs(int[] piles, int start) 
        // 递归结束条件
        if (start == piles.length) 
            return new int[]0, 0;
        

        if (dp[start][0] != Integer.MIN_VALUE) 
            return dp[start];
        
        int[] max = new int[]Integer.MIN_VALUE, Integer.MIN_VALUE;
        int sum = 0;
        // 循环先手可能的选择情况，找出最佳选择
        for (int x = 1; x <= 3; x++) 
            // 选前x堆石子, 以sum作前i堆石子的总数
            int index = start + x - 1;
            if (index >= piles.length) 
                break;
            
            sum += piles[index];
            // res[0]是下一轮先手者能获得的最大石子数: 即本轮后手者总体能获得的最大石子数 即 dp[i][1]
            // res[1]是下一轮后手者能获得的最大石子数: 即本轮先手者后续还能获得的最大石子数
            // sum是当前选择的石子数目, res[1] + sum就是 本轮先手者 总体能获得的最大石子数 即dp[i][0]
            // 找出几种选择的最优
            int[] res = dfs(piles, start + x);
            if (res[1] + sum > max[0]) 
                max[0] = res[1] + sum;
                max[1] = res[0];
            
        
        dp[start] = max;
        return max;