剑指 Offer 43. 1～n 整数中 1 出现的次数(纵向求解组合思想找规律)

Posted 2022-01-12 --believe

一、题目

剑指 Offer 43. 1～n 整数中 1 出现的次数

题目描述

输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

示例1：

输入：n = 12
输出：5

示例2：

输入：n = 13
输出：6

二、分析

方法1 暴力（横向求法）

暴力遍历小于等于n的所有数，针对每一个数字，求其所有位数上1的个数（对每个数字进行横向计数）。但是此方法时间复杂度随着n的增大会变大。时间复杂度过高，导致超时。这种方法不可取。

方法2 纵向求法+数学规律（组合思想）

这道题要求1到n中1出现的个数。我们有两种宏观思路。

• 第一种是从局部，针对每一个数，判断该数所有位数（横向），将该数字中出现1的个数计算完。再去计算下一个数出现的1的个数，直到计算到n。（方法1）

• 第二种是针对某一位，求取小于等于n所有数字该位为1的个数和（纵向）。再将所有位置1的总和加起来，就是结果了。（方法2）

  这道题思路主要介绍纵向求法。下面举例针对n的某一位cur来分析。

  举例,cur为index为1上的数。要求index为1上的1个数总和，先看看小于等于n里面的数有哪些满足,分情况讨论

  1. cur=$0$ 假设 n= 2 3 $0$ 4

     • （00-22） $1$ （0-9）：总共有（22-0+1）*（9-0+1）种组合

       也即：高位23x10

  2. cur=$1$ 假设 n= 2 3 $1$ 4

     • （00-22） $1$ （0-9）：总共有（22-0+1）（9-0+1）种组合

       也即：高位23x10

     • ​ （23） $1$ （0-4）：总共有4-0+1种组合

       也即：低位+1

       所以该种情况为：高位23x10+低位+1

  3. cur=$2$ （2-9一样） 假设 n= 2 3 $2$ 4

     • （00-22） $1$ （0-9）：总共有（22-0+1）（9-0+1）种组合

       也即：高位23x10

     • ​ （23） $1$ （0-9）：总共有9-0+1种组合

       也即：10

       所以该种情况为：高位23x10+10=（高位+1）x10

三、代码

方法1 暴力（横向求法）

	/*
	* 题目：剑指 Offer 43. 1～n 整数中 1 出现的次数
	* 描述：输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。
	* 实现: 暴力（超出时间限制）
	* 复杂度：时间O(n)
	*		 空间 O(1)：常数辅助空间
	*/
	int countDigitOne(int n) 
		int count = 0;
		int t;
		for (int i = 1; i <=n; i++)
		
			t = i;
			while (t>0) 
				
				if (t % 10 == 1)count++;
				t = t / 10;
			
		
		return count;
	

方法2 纵向求法+数学规律（组合思想）

	/*
	* 题目：剑指 Offer 43. 1～n 整数中 1 出现的次数
	* 描述：输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。
	* 实现: 数学找规律
	* 复杂度：时间O(logn):循环求n的个数logn。再次logn求解res。一共2xlogn.
	*		 空间 O(1)：常数辅助空间
	*/
	int countDigitOneA(int n) 
		int res = 0,t=n,bitNum=0;
		int low, high;
		int cur;
		//计算n有多少位
		while (t > 0) 
			t = t / 10;
			bitNum++;
		

		for (int i = 0; i < bitNum; i++)
		
			low = n % long(pow(10, i));
			high = n / long(pow(10,i+1));//防止溢出

			cur = int(n / (pow(10, i))) % 10;
			if (cur == 0) res += (high*pow(10, i));
			else if (cur == 1) res += (high*pow(10, i)+low+1);
			else res += ((high+1) * pow(10, i));
		
		return res;
	

四、总结

这道题横向思考我们很容易想到。也就是针对某个数先把他所有位数上的1都求了。

但是纵向思路我们不容易想到。也就是针对某一位，先把所有满足数的1的求了。再求其他位上出现的所有1.