《数值分析》-- 非线性方程的数值解法

Posted 2022-01-12 胜天半月子

文章目录

• 非线性方程求根的迭代法
• 一、根的存在性
• 二、不动点迭代法（简单迭代法）
• • 2.1 基本思想
  • 2.2 迭代法的几何意义
  • 2.3 迭代过程的收敛性
  • 2.4 迭代法收敛阶
• 三、牛顿法
• • 3.1 牛顿法的迭代公式
  • 3.2 牛顿法的几何意义⭐
  • 3.3 牛顿法的收敛性

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非线性方程求根的迭代法

• 非线性方程
  
  非线性方程求根的基本问题包括：
  1．根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？
  2．根的搜索。这些根大致在哪里？如何把根隔离开？
  3．根的精确化。

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一、根的存在性

• 定理1⭐
  设函数$f(x)$ 在区间$[a,b]$上连续，如果$f(a)\cdot f(b)<0$，则方程 $f(x)=0$ 在$(a,b)$内至少有一实根$x\ast$。
  
  用数值方法求根,就是构造一数列逼近方程根. 常用方法有:
• 不动点迭代法（简单迭代法）；
• 牛顿法；

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二、不动点迭代法（简单迭代法）

2.1 基本思想

2.2 迭代法的几何意义

记$y1=x,y2=\phi (x)$ , 它们交点的横坐标a即为方程的根：

2.3 迭代过程的收敛性

• 定理2⭐
  
  迭代法的结束条件：
  
• 例题
  求方程$f(x)=x^3+4x^2-10=0$在$[1,1.5]$内的根$x^{\ast }。(\epsilon =5\times 10^{-4})$
  
  
  
  
• 分析
  
  
  
• 定理3（收敛定理）⭐
  
• 例题
  

2.4 迭代法收敛阶

• 定义
  
• 定理4⭐
  
• 证明
  
  下面计算$\psi (x_k)-\psi (x^{\ast })$:
  
  
  
• 例题
  用迭代法求$x=e^{-x}$在0.5附近根的收敛阶
  
  看定理4就可以解答该题目！

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三、牛顿法

3.1 牛顿法的迭代公式

3.2 牛顿法的几何意义⭐

3.3 牛顿法的收敛性

• 定理
  
  
  但同号位置处的$x_0$的选取也有讲究：
  
• 例题
  
• 牛顿法的优缺点
• 优点：牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方。
• 缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算导数值

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