数据结构与算法之深入解析“预测赢家”的求解思路与算法示例

Posted 2022-01-12 Forever_wj

一、题目描述

• 给出一个整数数组 nums，玩家 1 和玩家 2 基于这个数组设计了一个游戏。
• 玩家 1 和玩家 2 轮流进行自己的回合，玩家 1 先手。开始时，两个玩家的初始分值都是 0，每一回合，玩家从数组的任意一端取一个数字（即，nums[0] 或 nums[nums.length - 1]），取到的数字将会从数组中移除（数组长度减 1 ），玩家选中的数字将会加到他的得分上。当数组中没有剩余数字可取时，游戏结束。
• 如果玩家 1 能成为赢家，返回 true；如果两个玩家得分相等，同样认为玩家 1 是游戏的赢家，也返回 true；你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。
• 示例 1：

输入：nums = [1,5,2]
输出：false
解释：一开始，玩家 1 可以从 1 和 2 中进行选择。
如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。 
所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5。
因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 false。

• 示例 2：

输入：nums = [1,5,233,7]
输出：true
解释：玩家 1 一开始选择 1 。然后玩家 2 必须从 5 和 7 中进行选择。无论玩家 2 选择了哪个，玩家 1 都可以选择 233。
最终，玩家 1（234 分）比玩家 2（12 分）获得更多的分数，所以返回 true，表示玩家 1 可以成为赢家。

二、求解算法

① 动态规划

• 状态定义：dp[i][j] 表示作为先手，在区间 nums[i…j] 里进行选择可以获得的相对分数。相对分数的意思是：当前自己的选择得分为正，对手的选择得分为负。

• 填充方式一：

• Java 示例：

public class Solution 

    // 状态转移方程：dp[i][j] = max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1])
    
    public boolean PredictTheWinner(int[] nums) 
        int len = nums.length;
        int[][] dp = new int[len][len];

        // dp[i][j]：作为先手，在区间 nums[i..j] 里进行选择可以获得的相对分数
        for (int i = 0; i < len; i++) 
            dp[i][i] = nums[i];
        
        
        for (int i = len - 2; i >= 0; i--) 
            for (int j = i + 1; j < len; j++) 
                dp[i][j] = Math.max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);
            
        
        return dp[0][len - 1] >= 0;
    

• 填充方式二：

• Java 示例：

public class Solution 

    // 状态转移方程：dp[i][j] = max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1])
    
    public boolean PredictTheWinner(int[] nums) 
        int len = nums.length;
        int[][] dp = new int[len][len];
        
        // dp[i][j]：作为先手，在区间 nums[i..j] 里进行选择可以获得的相对分数
        for (int i = 0; i < len; i++) 
            dp[i][i] = nums[i];
        

        for (int j = 1; j < len; j++) 
            for (int i = j - 1; i >= 0; i--) 
                dp[i][j] = Math.max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);
            
        
        return dp[0][len - 1] >= 0;
    

② 递归（Leetcode 官方解法）

• 为了判断哪个玩家可以获胜，需要计算一个总分，即先手得分与后手得分之差，当数组中的所有数字都被拿取时，如果总分大于或等于 0，则先手获胜，反之则后手获胜。
• 由于每次只能从数组的任意一端拿取数字，因此可以保证数组中剩下的部分一定是连续的。假设数组当前剩下的部分为下标 start 到下标 end，其中 0≤start≤end<nums.length，如果 start=end，则只剩一个数字，当前玩家只能拿取这个数字；如果 start<end，则当前玩家可以选择 nums[start] 或 nums[end]，然后轮到另一个玩家在数组剩下的部分选取数字，这是一个递归的过程。
• 计算总分时，需要记录当前玩家是先手还是后手，判断当前玩家的得分应该记为正还是负。当数组中剩下的数字多于 1 个时，当前玩家会选择最优的方案，使得自己的分数最大化，因此对两种方案分别计算当前玩家可以得到的分数，其中的最大值为当前玩家最多可以得到的分数。

• Java 示例：

class Solution 
    public boolean PredictTheWinner(int[] nums) 
        return total(nums, 0, nums.length - 1, 1) >= 0;
    

    public int total(int[] nums, int start, int end, int turn) 
        if (start == end) 
            return nums[start] * turn;
        
        int scoreStart = nums[start] * turn + total(nums, start + 1, end, -turn);
        int scoreEnd = nums[end] * turn + total(nums, start, end - 1, -turn);
        return Math.max(scoreStart * turn, scoreEnd * turn) * turn;
    

• 复杂度分析：
• • 时间复杂度：O(2ⁿ)，其中 n 是数组的长度。
• • 空间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度，空间复杂度取决于递归使用的栈空间。