《算法零基础100讲》(第5讲) 计数法
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了《算法零基础100讲》(第5讲) 计数法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
零、写在前面
这是《算法零基础100讲》 专栏打卡学习的第五天了，虽然有同学反馈一天一篇太难了，但是也有同学认为这样能够逼着他学习，很爽。任何一种模式，都不可能兼顾所有人，只有靠你自己去适应它，不断调整自己的学习方式，这就是 「 适者生存 」 的道理。
我的算法零基础讲解，在前面几讲基本都是没有什么关联的，纯属野路子， 「 书上找不到 」 ，但是训练下来，可以锻炼你的思维能力。所以，就算某一章节落下了，也不要紧，只要坚持每天都打卡，就算漏了，后面也能够通过自己的悟性悟出来前面几章的内容，所以， 「 贵在坚持 」 ！
也有同学是后面才加入的，希望你们不要气馁，当你开始要努力的时候，任何时间点开始都不会太迟，只要肯努力， 「 后来者居上 」 的例子不胜枚举。
一、概念定义
今天要讲的方法很实用，名为计数法。
计数法的含义顾名思义，就是利用一个变量，记录下某个数值出现了多少次。从而实现对数值的计数。例如，计算某个班级里面有多少学生智商大于 163，我们可以这么写：
int func(int *iq, int size)
int cnt = 0;
for(i = 0; i < size; ++i)
if(iq[i] > 163)
++cnt;
return cnt;
其中iq[]代表学生们的智商列表，我们把智商列表遍历一遍，然后统计大于 163 的，用一个变量cnt来计数，最后返回这个计数，这就是最简单的计数法。
更深层次的，如果我们需要知道所有 IQ 值的分布，怎么来快速完成这个事情呢？沿用上面的方法，我们可以采用一个计数数组来完成这件事情。将 IQ 值 映射到数组的下标中，而数组值本身就对应了计数器的值。
int *func(int *iq, int size, int IQMax) // (1)
int i;
int *cnt = (int *)malloc( sizeof(int) * (IQMax+1) ); // (2)
memset(cnt, 0, sizeof(int) * (IQMax+1)); // (3)
for(i = 0; i < size; ++i)
++cnt[ iq[i] ]; // (4)
return cnt; // (5)
- ( 1 ) (1) (1) 函数给定三个参数，分别代表一个 IQ数组，IQ数组的元素个数，最大的IQ值，要求返回一个数组，代表每个 IQ值 的人数有多少；
-
(
2
)
(2)
(2)
cnt是一个区间范围为[0, IQMax]的计数器数组，其中cnt[i]代表 IQ值 为 i i i 的学生人数； - ( 3 ) (3) (3) 初始化所有 IQ值 的学生人数都为 0；
-
(
4
)
(4)
(4) 遍历每个学生，找到对应的 IQ值 对应的计数器，执行自增操作，这种情况下，
++cnt[ iq[i] ]和cnt[ iq[i] ]++是等价的； - ( 5 ) (5) (5) 返回计数器数组；
二、题目描述
给定一个 n ( 1 ≤ n ≤ 1 0 5 ) n(1 \\le n \\le 10^5) n(1≤n≤105) 个元素的整数数组 a [ i ] ( 0 ≤ a [ i ] ≤ 2 20 ) a[i] (0 \\le a[i] \\le 2^20) a[i](0≤a[i]≤220)，要求找出一些 “含有两个数” 的数对，并且这两个数的和为 2 的幂。求这样的数对的对数，如果超过 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7，则返回除上 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7 后的余数。
三、算法详解
如果用最暴力的算法，那就是从
n
n
n 个数中找 2 个数，然后判断它们的和是否为
2
2
2 的幂，如果是，则计数器加一。根据组合原理可得，总共有
C
n
2
C_n^2
Cn2 个数对需要判断，所以，这样做的算法时间复杂度为
O
(
n
2
)
O(n^2)
O(n2) （其中
C
n
m
C_n^m
Cnm 为组合数）。
那么，我们换个思路，观察数组的元素最大不会超过
2
20
2^20
220，也就是两个数加起来最大不会超过
2
21
2^21
221。所以，满足要求的数对，它们的加和一定是
2
0
2^0
20、
2
1
2^1
21、
2
2
2^2
22、
.
.
.
...
...、
2
21
2^21
221 这 22 个数其中之一。
于是，我们可以枚举其中一个数
x
x
x，再枚举它们的和
s
u
m
sum
sum，那么另一个数一定是
o
t
h
e
r
=
s
u
m
−
x
other=sum-x
other=sum−x 我们只要想办法找出
o
t
h
e
r
other
other 的个数进行累加，返回这个累加值即可。
这里的
o
t
h
e
r
other
other 可以映射到数组下标，每次枚举完
x
x
x，我们可以对它执行自增操作，这样在下次统计的时候就可以通过数组下标在
O
(
1
)
O(1)
O(1) 的时间内获取它曾经出现过多少次。算法的时间复杂度为
O
(
n
c
)
O(nc)
O(nc)，其中
c
c
c 为常数。
四、源码剖析
int cnt[ (1<<21) + 1 ];
int countPairs(int* deliciousness, int deliciousnessSize)
int i, sum = 0;
int ans = 0;
memset (cnt, 0, sizeof(cnt)); // (1)
for(i = 0; i < deliciousnessSize; ++i) // (2)
for(sum = 1; sum <= (1<<21); sum *= 2) // (3)
other = sum - deliciousness[i]; // (4)
if (other < 0) // (5)
continue;
ans += cnt[ other ]; // (6)
ans %= 1000000007;
++ cnt[ deliciousness[i] ]; // (7)
return ans; // (8)
- ( 1 ) (1) (1) 初始化一个计数器数组，并且设定所有数出现次数均为 0 0 0；
- ( 2 ) (2) (2) 枚举其中一个数；
- ( 3 ) (3) (3) 两个数的和为2的幂，所以可以枚举所有的和；
-
(
4
)
(4)
(4) 这样就可以用减法计算出另一个数
other； - ( 5 ) (5) (5) 如果另一个数小于0，则继续枚举另一个和；
-
(
6
)
(6)
(6) 否则
cnt[other]里存的就是另一个数的数量，直接将方案数进行累加； - ( 7 ) (7) (7) 然后，把当前的这个数放入计数器中；
-
(
8
)
(8)
(8) 最后，返回
ans为累加和；
五、推荐专栏
六、习题练习
| 序号 | 题目链接 | 难度 |
|---|---|---|
| 1 | 唯一元素的和 | ★☆☆☆☆ |
| 2 | 字符串中的第一个唯一字符 | ★☆☆☆☆ |
| 3 | 检查是否所有字符出现次数相同 | ★☆☆☆☆ |
| 4 | 找到所有数组中消失的数字 | ★☆☆☆☆ |
| 5 | 好数对的数目 | ★★☆☆☆ |
| 6 | 大餐计数 | ★★☆☆☆ |
以上是关于《算法零基础100讲》(第5讲) 计数法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
《算法零基础100讲》(第39讲) 非比较排序 - 计数排序
题解《算法零基础100讲》(第24讲) 字符串算法 - 字符计数法（java版）