[计算机数值分析]牛顿法求解方程的根

Posted 2022-01-10 Spring-_-Bear

问题描述

对于方程 f(x) = 0, 设已知它的近似根 x_k,则函数f(x)在点 x_k附近可用一阶泰勒多项式 p(x) = f(x_k) + f′(x_k)(x - x_k) 来近似,因此方程 f(x) = 0可近似的表为 p(x) = 0。后者是一个线性方程,它的求根是相对容易的,我们取 p(x) = 0 的根作为 f(x) = 0 的新的近似根,记作 x_k′,则x_k′ = x_k - f(x_k) / f′(x_k), 这就是著名的牛顿公式,相应的迭代函数为 φ(x) = x - f(x) / f′(x)。

例：用牛顿法求方程 2x³ - 4x² + 3x - 6 = 0
f(x) = 2x³ - 4x² + 3x - 6, f′(x) = 6x² - 8x + 3,
从而有迭代函数 φ(x) = x - f(x) / f′(x)
即 φ(x) = x - （2x³ - 4x² + 3x - 6）/ （6x² - 8x + 3）

运行示例

源码

//用牛顿法求解方程的根
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

double f(double x);   //f(x)为需要求解方程的对应函数
double f1(double x);   //f1(x)为f(x)的一阶导数

int main(void)

	double accuracy, N;  //accuracy为精度；N为最大迭代次数;
	double x0, x1;    //x0为运用牛顿法时选取的初值;x1为迭代初值的下一次迭代值
	int count;  //count为当前迭代次数

	cout << "请输入迭代初值:";
	cin >> x0;
	cout << "请输入精度:";
	cin >> accuracy;
	cout << "请输入最大迭代次数:";
	cin >> N;

	count = 0;

	do
	
		count++;   //迭代次数自增1

		if (count > N)
		
			cout << "达到允许的最大迭代次数！迭代结束！" << endl;
			break;
		

		if (f1(x0) == 0)
		
			cout << "在x0附近f(x)的一阶导数值为0，不适用牛顿法求方程的根!" << endl;;
			break;
		
		else
		
			x1 = x0 - f(x0) / f1(x0);

			cout << "第" << count << "次迭代，方程的近似根为:" << x1 << endl;

			//交换x0与1的值，便于进行下一次迭代
			double temp;
			temp = x1;
			x1 = x0;
			x0 = temp;
		
	 while ((abs(x1 - x0) > accuracy));

	return 0;


double f(double x)   //原函数

	double result = 2 * pow(x, 3) - 4 * pow(x, 2) + 3 * x - 6;
	return result;


double f1(double x)    //导函数

	double result = 6 * pow(x, 2) - 8 * x + 3;
	return result;