[计算机数值分析]拉格朗日插值公式

Posted 2022-01-10 Spring-_-Bear

问题描述

实际问题中碰到的函数 f(x) 是各种各样的，有的表达式很复杂，有的甚至给不出数学式子，只提供了一些离散数据，譬如某些点上的函数值和导数值。由于问题的复杂性，直接研究函数 f(x) 可能很困难。面对这种情况，一个很自然的想法是，设法将所考察的函数 f(x) “简单化”，就是说，构造某个简单的函数 p(x) 作为 f(x) 的近似函数，然后通过处理 p(x) 获得关于 f(x) 的结果。如果要求近似函数 p(x) 取给定的离散数据，则称之为 f(x) 的插值函数。

例：已知根号 100 等于 10，根号 121 等于 11，根号 144 等于 12，试用拉格朗日插值公式求解根号 115 的值。

运行示例

源码

#include<iostream>
using namespace std;

#define MAX 10

typedef struct Point  //插值节点信息结构体

	double x;
	double y;
point;

int main(void)

	int n;   //插值节点个数
	double x, item, sum;   //item为每一项插值基函数与其对应函数值的乘积

	point p[MAX];   //定义结构体数组

	sum = 0;

	cout << "请输入插值节点的个数:";
	cin >> n;

	for (int i = 1; i <= n; i++)   //将节点信息存入结构体数组
	
		cout << "请输入第" << i << "个点的坐标:";
		cin >> p[i].x;
		cin >> p[i].y;
	

	cout << "请输入x的值:";   //输入x提示
	cin >> x;

	for (int i = 1; i <= n; i++)    //外层循环实现对item的累加
	
		double denominator = 1;   //分母赋初值为1
		double numerator = 1;   //分子赋初值为1

		for (int j = 1; j <= n; j++)    //内层循环实现拉格朗日基函数各分子、分母部分的求解
		
			if (i == j)
			
				continue;
			
			 denominator *= p[i].x - p[j].x;   //基函数分母
			 numerator *= x - p[j].x;   //基函数分子
		

		item = numerator / denominator * p[i].y;   //求解拉格朗日插值法的每一项
		sum += item;   //累加求和
	

	cout << "运用拉格朗日基函数插值法求得f(x) ≈ p(x) = " << sum << endl;

	return 0;