水平集和符号距离函数
Posted 陆嵩
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了水平集和符号距离函数相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
水平集和符号距离函数
零水平集
定义： 对于一个函数 ϕ ( x ⃗ ) ： R n → R \\phi(\\vec x)：\\mathbfR^n\\rightarrow \\mathbfR ϕ(x)：Rn→R（其中 x ⃗ ∈ R n \\vec x \\in \\mathbfR^n x∈Rn ，下同），取其值域为零部分对应的定义域：
Γ = x ⃗ ∣ ϕ ( x ⃗ ) = 0 (1) \\Gamma = \\ \\vec x|\\phi (\\vec x) = 0\\ \\tag1 Γ=x∣ϕ(x)=0(1)
这里，
Γ
∈
R
n
−
1
\\Gamma \\in \\mathbfR^n-1
Γ∈Rn−1 称为函数
ϕ
\\phi
ϕ 的零水平集，反之，
ϕ
\\phi
ϕ 称为
Γ
\\Gamma
Γ 的一个水平集函数。
通俗地说，函数的水平集是这个函数在某个高度上所有点的一个集合。
函数的零水平集有一些良好的性质，在如下图所示的曲面演化问题中，
n ⃗ \\vec n n 为外法线向量， Γ \\Gamma Γ 为演化曲线。我们不妨假设有函数 ϕ ( x ⃗ ) \\phi(\\vec x) ϕ(x)，它的零水平集为 Γ \\Gamma Γ ，并且满足，
ϕ > 0 x ⃗ ∈ Γ i n ϕ < 0 x ⃗ ∈ Γ o u t (inandout) \\left\\ \\beginaligned\\taginandout &\\phi > 0&&\\vec x \\in \\Gamma_in\\\\ &\\phi < 0&&\\vec x \\in \\Gamma_out\\\\ \\endaligned \\right. ϕ>0ϕ<0x∈Γinx∈Γout(inandout)
这里， Γ i n \\Gamma_in Γin 表示 Γ \\Gamma Γ 内部， Γ o u t \\Gamma_out Γout 表示 Γ \\Gamma Γ 外部。那么，对于任意的 x ⃗ ∈ Γ \\vec x \\in \\Gamma x∈Γ ， ϕ \\phi ϕ 有如下两个性质：
-
性质一： ∇ ϕ ∣ ∇ ϕ ∣ = − n ⃗ (zlsp1) \\tagzlsp1 \\frac\\nabla \\phi |\\nabla \\phi | = - \\vec n ∣∇ϕ∣∇ϕ=−n(zlsp1)
Proof. 如图所示，设 s ⃗ \\vec s s 为零水平集 Γ \\Gamma Γ 的切线方向， ϕ \\phi ϕ 在 Γ \\Gamma Γ 沿切线方向上恒为零，故有：
∂ ϕ ∂ s = 0 \\frac\\partial \\phi \\partial s = 0 ∂s∂ϕ=0 由链式法则，可得：
ϕ s ( x ⃗ ) = ∇ ϕ ⋅ x ⃗ s = 0 \\phi _s(\\vec x) = \\nabla \\phi \\cdot \\vec x_s = 0 ϕs(x)=∇ϕ⋅xs=0
由此可知 ∇ ϕ \\nabla \\phi ∇ϕ 与切向垂直，对 ∇ ϕ \\nabla \\phi ∇ϕ 进行单位化并根据 ϕ \\phi ϕ 内正外负的情况取符号，即得：
∇ ϕ ∣ ∇ ϕ ∣ = − n ⃗ \\frac\\nabla \\phi |\\nabla \\phi | = - \\vec n ∣∇ϕ∣∇ϕ=−n -
性质二： d i v ( ∇ ϕ ∣ ∇ ϕ ∣ ) = − trace ( ∇ ⋅ n ⃗ ) = − κ (zlsp2) \\tagzlsp2 \\rmdiv(\\frac\\nabla \\phi |\\nabla \\phi |) = -\\texttrace (\\nabla\\cdot \\vec n) = -\\kappa div(∣∇ϕ∣∇ϕ)=−trace(∇⋅n)=−κ(zlsp2)
Proof.
ϕ s \\phi_s ϕs 在 Γ \\Gamma Γ 沿切线方向上恒为零，故有： ϕ s s = 0 \\phi_ss=0 ϕss=0 ，由链式法则，可知：
ϕ s s ( x ⃗ ) = ∂ ∂ s ( ∇ ϕ ⋅ x ⃗ s ) = ∂ ∂ s ∇ ϕ ⋅ x ⃗ s + ∇ ϕ ⋅ x ⃗ s s \\phi _ss(\\vec x) = \\frac\\partial \\partial s(\\nabla \\phi \\cdot \\vec x_s) = \\frac\\partial \\partial s\\nabla \\phi \\cdot \\vec x_s + \\nabla \\phi \\cdot \\vec x_ss ϕss(x)=∂s以上是关于水平集和符号距离函数的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章