第十一届蓝桥杯 ——超级胶水

Posted 2022-01-08 业余算法学徒

题目描述
小明有 $n$ 颗石子，按顺序摆成一排，他准备用胶水将这些石子粘在一起。

每颗石子有自己的重量，如果将两颗石子粘在一起，将合并成一颗新的石子，重量是这两颗石子的重量之和。

为了保证石子粘贴牢固，粘贴两颗石子所需要的胶水与两颗石子的重量乘积成正比，本题不考虑物理单位，认为所需要的胶水在数值上等于两颗石子重量的乘积。

每次合并，小明只能合并位置相邻的两颗石子，并将合并出的新石子放在原来的位置。

现在，小明想用最少的胶水将所有石子粘在一起，请帮助小明计算最少需要多少胶水。

输入格式
输入的第一行包含一个整数 $n$，表示初始时的石子数量。

第二行包含 $n$ 个整数 $w_1,w_2,\dots ,w_n$，依次表示每颗石子的重量。

输出格式
一个整数表示答案。

输入样例1
3
3 4 5

输出样例1
47

输入样例2
8
1 5 2 6 3 7 4 8

输出样例2
546

数据范围
$1\le n\le 10^5$
$1\le w_i\le 1000$

---

题解一：区间DP（超时，超内存）

$f[l][r]：将第l堆石子到第r堆石子合并成一堆石子的最小代价。$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010;

int n;
int s[N];
int f[1010][1010];

int main()

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
    
        cin >> s[i];
        s[i] += s[i - 1];
    
    
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    for (int len = 1; len <= n; len ++)
        for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l ++)
        
            int r = l + len - 1;
            if(len == 1) f[l][r] = 0;
            for (int k = l; k <= r; k ++)
                f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + (s[k] - s[l - 1]) * (s[r] - s[k]));
        
    
    cout << f[1][n] << endl;    
    return 0;

题解二：推公式

若有两堆石子 [a, b]：

• 代价：$a\ast b$

若有三堆石子 [a, b, c]：

1. 假设先合并 $[a,b]$，再合并 $[c]$，代价为 $a\ast b+(a+b)\ast c$，化简得 $a\ast b+a\ast c+b\ast c$；
2. 假设先合并 $[b,c]$，再合并 $[a]$，代价为 $b\ast c+(b+c)\ast a$，化简得 $a\ast b+a\ast c+b\ast c$；

若有四堆石子 [a, b, c, d]：

1. 假设先合并 $[a,b]$，再合并 $[c]$，最后合并 $[d]$，代价为 $a\ast b+(a+b)\ast c+(a+b+c)\ast d$，化简得 $a\ast b+a\ast c+a\ast d+b\ast c+b\ast d+c\ast d$；
2. 假设先合并 $[b,c]$，再合并 $[a]$，最后合并 $[d]$，代价为 $b\ast c+(b+c)\ast a+(a+b+c)\ast d$，化简得 $a\ast b+a\ast c+a\ast d+b\ast c+b\ast d+c\ast d$；
3. 以此类推

结论：由上可知，通过不同的合并顺序最终都能得到相同的答案；

公式：$ans=ans+{\sum }_{i=1}^n(W_i\ast S[i-1])$，$W_i$ 是每个石子的重量，$S$ 是前缀和数组；

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;

int main()

    int n;
    cin >> n;
    
    LL prev = 0, ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    
        int w;
        cin >> w;
        ans += w * prev;
        prev += w;
    
    
    cout << ans << endl;

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