《基础微积分教材中译版》--序言

Posted 2022-01-06 yuanmeng001

​一、   第一版序言

        微积分最初是利用无穷小量或无穷小数的直观概念发展起来的。但在过去的一百年里，出于数学严谨性的原因，微积分课程已经摒弃了无穷小量的概念。学生们只能在没有原始直觉的情况下学习这门学科。这本微积分教材是基于亚伯拉罕·罗宾逊（Abraham Robinson）的工作，他在1960年发现了一种使无穷小量严谨的方法。传统的课程从困难的极限概念开始，而本课程则从更容易理解的无穷小量开始。它针对的是普通的微积分初学者，涵盖了通常的三到四个学期的课程。

        无穷小方法对学生来说有三个重要的优点。首先，它更接近最初建立微积分的直觉。其次，学生能更容易地理解和使用导数和积分的中心概念。第三，它同时教授无穷小方法和传统方法，为学生提供了一个额外的工具，这在未来可能会变得越来越重要。

        在描述这本书之前，我想从历史的视角介绍罗宾逊的工作。在17世纪70年代，莱布尼茨和牛顿基于无穷小量的直观概念发展了微积分。无穷小量又被使用了两百年，直到19世纪70年代魏尔斯特拉斯完善了微积分的第一次严格处理。今天的标准微积分课程仍然基于魏尔斯特拉斯给出的极限的“定义”。1960年，罗宾逊用无穷小量对微积分进行了精确的处理，从而解决了一个有三百年历史的问题。罗宾逊的成就可能会被列为二十世纪数学的重大进展之一。最近，无穷小量在数学之外有了令人兴奋的应用，尤其是在经济学和物理学领域。由于在物理和社会过程建模中使用无穷小量是很自然的，因此这类应用的种类和重要性似乎肯定会增加。这是一个发现数学新用途的独特机会，但目前很少有人通过培训准备好利用这个机会。

        由于微积分的方法是新的，一些教师可能需要额外的背景材料。一本教师用书《无穷小微积分基础》提供了必要的背景，并详细地发展了理论。这本教师用书是本书的关键，但它又是自成一体的，并且是为普通数学大众准备的。本书包含所有普通的微积分主题，包括传统的极限定义，再加上一个额外的工具--无穷小量。因此，学生将为更多的他们正在学习的高级课程做好准备。在第1章到第4章中，导数、连续性和积分的基本概念都是利用无穷小量快速建立起来的。传统的极限概念被推迟到第5章，在那里它是由近似问题引出的。后面的章节发展了超越函数、级数、向量、偏导数和多重积分。其理论与传统课程不同，但符号和解决实际问题的方法是相同的。它们在自然科学和社会科学中都有各种各样的应用。

        我为希望尽早介绍超越函数的教师提供了以下创新。在第二章导数的末尾，有一节开始了超越函数的备用轨道，第三章到第六章的每一章都有超越函数的备用轨道问题集。这种备用轨道可以用来为早期的问题提供更大的多样性，也可以跳过，以便尽快达到积分。在第7章和第8章中，将以更轻松的速度重新开展超越函数。

        这本书是为普通学生写的。前面有方格的问题在一定程度上超出了本文中的例子，是为更多的冒险者准备的。

        最初促使我写这本书的原因是，罗宾逊的无穷小微积分可以提供给大学新生。本书对理论进行了简单介绍；例如，罗宾逊的著作使用了数理逻辑，但这本书没有使用。1969年，我在威斯康星大学的一个一学期的课程中首次使用了这本书的早期草稿。1971年出版了两个学期的实验版本。它已经在几所大学和密尔沃基附近的尼科莱特高中（Nicolet High School）使用，并在1972-1974年由凯瑟琳·沙利文（Kathleen Sullivan）修女在五所学校的对照实验中进行了测试。结果（在她1974年在威斯康星大学的博士论文中）显示了无穷小方法的可行性，并将在《美国数学月刊》的一篇文章中进行总结。

        我要感谢许多同事和学生，他们给了我鼓励和建议，并仔细阅读和使用了手稿的各个阶段。特别感谢威斯康星大学的乔恩·巴维斯（Jon Barwise）；德州农工大学的G.R.布莱克利（G.R.Blakley）；锡拉丘兹大学的肯尼思·A·鲍恩（Kenneth A. Bowen）；密歇根理工大学的威廉·P·弗朗西斯（William P.Francis）；鲍灵格林大学的A·W·M格拉斯（A.W.M.Glass）；伊利诺伊大学厄巴纳分校的彼得·勒布（Peter Loeb）；爱荷华大学的尤金·麦迪逊（Eugene Madison）和基思·斯特罗扬（Keith Stroyan）；圣母大学的马克·纳德尔（Mark Nadel）；巴恩特学院的凯瑟琳·苏利文修女（Sister Kathleen Sullivan）；以及马萨诸塞大学的弗兰克·瓦滕伯格（Frank Wattenberg）。

H·杰罗姆·基斯勒