你真的分得清系统误差随机误差和偶然误差吗？(含例题)

Posted 2022-01-04 FrigidWinter

你真的分得清系统误差、随机误差和偶然误差吗？

• 1 误差理论的基本概念
• 2 误差的类型
• • 2.1 随机误差
  • 2.2 系统误差
  • 2.3 粗大误差(野差)
• 3 误差的合成
• 4 误差的传递
• 5 误差理论例题

1 误差理论的基本概念

序号	概念	含义
1	测量	以确定被测量为目标而进行的一组操作，是把未知被测量与已知标准量进行比对的过程
2	测量值(示值或读数)	由测量器具或检测仪器指示或显示的被测参量数值，包括数值和单位
3	真值	一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值
4	测量误差	实际测量中由于测量器具不准确、测量手段不完善、各种环境或人为因素等导致的测量值与真值的偏差，有两种表示方法：绝对测量误差 ；相对测量误差
5	约定真值	由国际协议、国家标准测量的某物理量值，一般可代替真值，如标准重力加速度、基准米等
6	相对真值	由于无法直接和国家标准比对(如严格定义的基准米长度)，在量值传递中，当高一级标准仪器的测量误差仅为低一级的1/3及以下时，可认为高一级标准仪器的测量值为低一级的相对真值
7	标称值	计量或测量器具上标定的数值。由于制造、测量精度不足及环境等因素的影响，标称值并非真值，因此给出标称值的同时还要标出误差范围或准确度等级
8	多次测量	在相同条件下，用同一测量仪器对同一被测量进行多次重复测量的过程。通常要求较高精密测量都须进行多次测量，如仪表的比对、校准等
9	精密度	表征测量仪器输出值的分散性
10	准确度	表征测量仪器输出值与真值的偏离程度
11	精度(精确度)	加权综合考量精密度与准确度

只要存在测量，就必然存在测量误差——测量误差不能完全消除，因此误差理论的目标就是在给定精度范围内尽可能减小测量误差。测量误差分为随机误差、系统误差、粗大误差三种，下面将分别讨论其产生原因和消除方法。

2 误差的类型

2.1 随机误差

在相同条件下，用同一测量仪器对同一被测量进行多次重复测量，测量误差中绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差分量，称为随机误差或偶然误差，定量表示为
$${\epsilon }_{ri}=x_i-E_x$$

其中$E_x=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$为观测值数学期望。

随机误差服从正态分布，一般可认为${\epsilon }_{ri}N\left(0,{\sigma }^2\right)$，因此随机误差也满足$3\sigma$原则，定义 $\Delta =3\sigma$为极限误差，超过$\Delta$范围的可以认为属于粗大误差，予以剔除。随机误差分布的标准差$\sigma$表征了测量输出的精密度，标准差$\sigma$越小表明仪器测量的精密度越高，相应的随机误差也越小。

随机误差分布均值为0具有对称性，因此随机误差具有补偿性，定量表述为
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n{\epsilon }_{ri}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sum _{i=1}^n{x}_i-n{E}_x\right)=0$$

该式在$n$为有限值时近似但不严格为0，且并无实际意义。

假设已剔除粗大误差，则测量值$x_i=A_0+\epsilon +{\epsilon }_{ri}$为系统真值、随机误差和系统误差的叠加，对两侧取无穷次采样的均值可得
$$E_x=A_0+\epsilon$$

证明可以通过增加采样次数的方式消除随机误差。

以上讨论基于理想大样本，在有限样本下不能应用数学期望，而仅能得到数学期望估计值——样本均值$\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$，且$\bar{x}$为服从正态分布的随机变量。此时随机误差亦为估计值，称作样本残差$v_i=x_i-\bar{x}$。

同样，样本残差也严格遵守补偿性
$$\sum _{i=1}^n{v}_i=\sum _{i=1}^n{x}_i-n\bar{x}=0$$

在有限样本下造成统计数据自由度降低，需要使用贝塞尔公式修正样本标准差为
$$\hat{\sigma }=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{v}_i^2}$$

可以证明，样本均值标准差的最佳估计值为
$${\hat{\sigma }}_{\bar{x}}=\frac{\hat{\sigma }}{\sqrt{n}}$$

${\hat{\sigma }}_{\bar{x}}$作为精密度$\sigma$的最佳估计值，即 E x = x ˉ ± 3 σ ^ x ˉ E_x=\\barx\\pm 3\\hat\\sigma_\\barx Ex​=xˉ±3σ^以上是关于你真的分得清系统误差随机误差和偶然误差吗？(含例题)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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