B-树的理论分析
Posted 顧棟
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了B-树的理论分析相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
B-树
理论部分来自《数据结构 （C语言版）》 严蔚敏
背景知识
B-树是一种平衡的多路查找树，B-树其实就是B树，因为英文是B-Tree，翻译成了B-树。
B-树的数据结构常用于数据库索引技术和文件索引。由于数据库的索引是存储在磁盘上的，当数据量的比较大的时候，无法将整个索引一次全部加载到内存中，只能逐一加载磁盘页，使用B-树可以减少磁盘的I/O，提高查询效率，树的阶数取决于磁盘页的大小。非关系数据库MongoDB使用的B-树。
B-树的定义与特点
一颗 m m m阶的B-树需要满足特性
-
树中每个结点至多有 m m m棵子树
-
若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树
-
除根之外的所有非叶子结点至少有 ⌈ m 2 ⌉ \\lceil \\fracm2 \\rceil ⌈2m⌉棵子树（ m 2 \\fracm2 2m的值向上取整，不比 m 2 \\fracm2 2m小的最小整数）
-
所有的非叶子结点中包含了以下信息数据
（ n , A 0 , K 1 , A 1 , K 2 , A 2 , . . . , K n , A n n,A_0,K_1,A_1,K_2,A_2,...,K_n,A_n n,A0,K1,A1,K2,A2,...,Kn,An）
其中 K i ( i = 1 , . . . , n ) K_i(i=1,...,n) Ki(i=1,...,n)为关键字，且 K i < K i + 1 ( i = 1 , . . . , n − 1 ) K_i<K_i+1(i=1,...,n-1) Ki<Ki+1(i=1,...,n−1); A i ( i = 0 , . . . , n ) A_i(i=0,...,n) Ai(i=0,...,n)为指向子树结点的指针，且指针 A i − 1 A_i-1 Ai−1所指子树中所有结点的关键字均小于 K i ( i = 1 , . . . , n ) K_i(i=1,...,n) Ki(i=1,...,n)， A n A_n An所指子树所有结点的关键字均大于 K n K_n Kn， n ( ⌈ m 2 ⌉ − 1 ≤ n ≤ m − 1 ) n(\\lceil \\fracm2 \\rceil-1 \\leq n \\leq m-1) n(⌈2m⌉−1≤n≤m−1)为关键字的个数（或 n + 1 n+1 n+1为子树个数）。
简单理解就是
- 非终端节点中包含了 关键字的个数，指向其子树结点的指针列表，关键字的值列表，指针与关键字交替存放。
- 关键字是按从左往右的方向由小到大排序存放，指针指向的结点（即子树结点）的所有关键字，都大于该指针前面的关键字且小于指针之后的关键字。
- 关键字的个数的取值范围 ⌈ m 2 ⌉ − 1 ≤ n ≤ m − 1 \\lceil \\fracm2 \\rceil-1 \\leq n \\leq m-1 ⌈2m⌉−1≤n≤m−1。
-
所有的叶子结点都出现在同一层次上，且不带信息（可以看做是外部结点或查询失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null）。
这句话与代码里的叶子结点困惑我很久，其实这里的叶子结点与代码实现的叶子结点不是一个意思，代码中的叶子节点，从这句话的角度来说，其实是叶子结点的上一层，为了实现易于实现，在代码中定义成叶子结点。
什么是B-树的阶？
B-树中一个结点的子结点数目的最大值，用m表示，假如最大值为3，则为3阶。
查找的分析
在B-树中查找有两种操作
-
查找结点
B-树是存在磁盘中 该查找是在磁盘上进行的
-
在结点中找关键字
在磁盘上找到P结点所指的指针后，将结点信息加载入内存，在利用顺序查找或者二分查找找到关键字。
内存的查找速度高于磁盘的查找速度，那么查找的效率关键在于B-树的深度，那么包含N个关键字的m阶B-树的最大深度是什么？
l = l o g ⌈ m 2 ⌉ ( N + 1 2 ) + 1 l=log_\\lceil \\fracm2 \\rceil^(\\fracN+12)+1 l=log⌈2m⌉(2N+1)+1
如何证明这个公式 ？如下
深度为 l + 1 l+1 l+1的 m m m阶B-树的最少结点数
| 层数 | 最少结点数 | 备注 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 根结点 |
| 2 | 2 | |
| 3 | 2* ⌈ m 2 ⌉ \\lceil \\fracm2 \\rceil ⌈2m⌉ | 除了根结点，每个非终端结点的至少有 ⌈ m 2 ⌉ \\lceil \\fracm2 \\rceil ⌈2m⌉棵子树，可以看做2* ( ⌈ m 2 ⌉ ) ( 3 − 2 ) (\\lceil \\fracm2 \\rceil)^(3-2) (⌈2m⌉)(3−2) |
| 4 | 2* ( ⌈ m 2 ⌉ ) 2 (\\lceil \\fracm2 \\rceil)^2 (⌈2m⌉)2 | 可以看做2* ( ⌈ m 2 ⌉ ) ( 4 − 2 ) (\\lceil \\fracm2 \\rceil)^(4-2) (⌈2m⌉)(4−2) |
| ··· | ··· | ··· |
| l + 1 l+1 l+1 | 2* ( ⌈ m 2 ⌉ ) ( l − 1 ) (\\lceil \\fracm2 \\rceil)^(l-1) (⌈2m⌉)(l−1) | 可以看做2* ( ⌈ m 2 ⌉ ) ( l + 1 − 2 ) (\\lceil \\fracm2 \\rceil)^(l+1-2) (⌈2m⌉)(l+1−2) |
若m阶的B-树中有N个关键字，则叶子结点的个数为N+1，那么有
2
∗
(
⌈
m
2
⌉
)
(
l
−
1
)
≤
N
+
1
2*(\\lceil \\fracm2 \\rceil)^(l-1) \\leq N+1
2∗(⌈2m⌉)(l−1)≤N+1
反之
l
≤
l
o
g
⌈
m
2
⌉
(
N
+
1
2
)
+
1
l \\leq log_\\lceil \\fracm2 \\rceil^(\\fracN+12)+1
l≤log⌈2m⌉(2详解 B树