优化算法多目标萤火虫算法（MOFA）含Matlab源码 1595期

Posted 2022-01-03 紫极神光

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二、萤火虫优化算法（FA）简介

1 介绍
萤火虫（firefly）种类繁多，主要分布在热带地区。大多数萤火虫在短时间内产生有节奏的闪光。这种闪光是由于生物发光的一种化学反应，萤火虫的闪光模式因种类而异。萤火虫算法(FA)是基于萤火虫的闪光行为，它是一种用于全局优化问题的智能随机算法，由Yang Xin-She（2009）[1]提出。萤火虫通过下腹的一种化学反应-生物发（bioluminescence）发光。这种生物发光是萤火虫求偶仪式的重要组成部分，也是雄性萤火虫和雌性萤火虫交流的主要媒介，发出光也可用来引诱配偶或猎物，同时这种闪光也有助于保护萤火虫的领地，并警告捕食者远离栖息地。在FA中，认为所有的萤火虫都是雌雄同体的，无论性别如何，它们都互相吸引。该算法的建立基于两个关键的概念：发出的光的强度和两个萤火虫之间产生的吸引力的程度。

2 天然萤火虫的行为
天然萤火虫在寻找猎物、吸引配偶和保护领地时表现出惊人的闪光行为，萤火虫大多生活在热带环境中。一般来说，它们产生冷光，如绿色、黄色或淡红色。萤火虫的吸引力取决于它的光照强度，对于任何一对萤火虫来说，较亮的萤火虫会吸引另一只萤火虫。所以，亮度较低的个体移向较亮的个体，同时光的亮度随着距离的增加而降低。萤火虫的闪光模式可能因物种而异，在一些萤火虫物种中，雌性会利用这种现象猎食其他物种；有些萤火虫在一大群萤火虫中表现出同步闪光的行为来吸引猎物，雌萤火虫从静止的位置观察雄萤火虫发出的闪光，在发现一个感兴趣趣的闪光后，雌性萤火虫会做出反应，发出闪光，求偶仪式就这样开始了。一些雌性萤火虫会产生其他种类萤火虫的闪光模式，来诱捕雄性萤火虫并吃掉它们。

3 萤火虫算法
萤火虫算法模拟了萤火虫的自然现象。真实的萤火虫自然地呈现出一种离散的闪烁模式，而萤火虫算法假设它们总是在发光。为了模拟萤火虫的这种闪烁行为，Yang Xin-She提出了了三条规则（Yang，2009）：
（1）假设所有萤火虫都是雌雄同体的，因此一只萤火虫可能会被其他任何萤火虫吸引。
（2）萤火虫的亮度决定其吸引力的大小，较亮的萤火虫吸引较暗的萤火虫。如果没有萤火虫比被考虑的萤火虫更亮，它就会随机移动。
（3）函数的最优值与萤火虫的亮度成正比。
光强(I)与光源距离（r）服从平方反比定律，因此由于空气的吸收，光的强度(I)随着与光源距离的增加而减小，这种现象将萤火虫的可见性限定在了非常有限的半径内：

萤火虫算法的主要实现步骤如下：

其中I0为距离r=0时的光强（最亮），即自身亮度，与目标函数值有关，目标值越优，亮度越亮；γ为吸收系数，因为荧光会随着距离的增加和传播媒介的吸收逐渐减弱，所以设置光强吸收系数以体现此特性，可设置为常数；r表示两个萤火虫之间的距离。有时也使用单调递减函数，如下式所示。

第二步为种群初始化：

其中t表示代数，xt表示个体的当前位置，β0exp(-γr2)是吸引度，αε是随机项。下一步将会计算萤火虫之间的吸引度：

其中β0表示r=0时的最大吸引度。
下一步，低亮度萤火虫向较亮萤火虫运动：

最后一个阶段，更新光照强度，并对所有萤火虫进行排序，以确定当前的最佳解决方案。萤火虫算法的主要步骤如下所示。

Begin
	初始化算法基本参数：设置萤火虫数目n，最大吸引度β0，光强吸收系数γ，步长因子α，最大迭代次数MaxGeneration或搜索精度ε；
	初始化：随机初始化萤火虫的位置，计算萤火虫的目标函数值作为各自最大荧光亮度I0；
	t=1
	while(t<=MaxGeneration || 精度>ε)
		计算群体中萤火虫的相对亮度I(式2)和吸引度β（式5），根据相对亮度决定萤火虫的移动方向；
		更新萤火虫的空间位置，对处在最佳位置的萤火虫进行随机移动（式6）；
		根据更新后萤火虫的位置，重新计算萤火虫的亮度I0；
		t=t+1
	end while
	输出全局极值点和最优个体值。
end

萤火虫算法与粒子群算法(PSO)和细菌觅食算法(BFA)有相似之处。在位置更新方程中，FA和PSO都有两个主要分量：一个是确定性的，另一个是随机性的。在FA中，吸引力由两个组成部分决定：目标函数和距离，而在BFA中，细菌之间的吸引力也有两个组成部分：适应度和距离。萤火虫算法实现时，整个种群(如n)需要两个内循环，特定迭代需要一个外循环(如I)，因此最坏情况下FA的计算复杂度为O(n2I)。

三、部分源代码

%% This demo shows how the multiobjective firefly algorithm (MOFA) works  %
%%
% -----------------------------------------------------------------------

function mofa_new(inp)  
if nargin<1,    
  inp=[100 1000]; % Default parameters
end
n=inp(1);               % Population size (number of fireflies)
tMax=inp(2);            % Maximum number of iterations
alpha=1.0;              % Randomness strength 0--1 (highly random)
beta0=1.0;              % Attractiveness constant
gamma=0.1;              % Absorption coefficient
theta=10^(-4/tMax);     % The parameter theta can be taken as 0.97 to 0.99    
                        % This is a randomness reduction factor for alpha

% For the ZDT Function #3 with m=2 objectives
m=2;             % Number of objectives
RnD=zeros(n,2);  % Initilize the rank and distance matrix
% Dimension of the search/independent variables
d=30;
Lb=0*ones(1,d);   % Lower bounds/limits
Ub=1*ones(1,d);   % Upper bounds/limits
% Generating the initial locations of n fireflies
for i=1:n,
   Sol(i,:)=Lb+(Ub-Lb).*rand(1,d); 
   f(i,1:m) = obj_funs(Sol(i,:), m);
end
% Store the fitness or objective values
f_new=f;
%% Sort the initialized population
x=[Sol f];  % combined into a single input
% Non-dominated sorting for the initila population
Sorted=solutions_sorting(x, m,d);
% Decompose into solutions, fitness, rank and distances
Sol=Sorted(:,1:d);  S_new=Sol;       % Record solutions 
f=Sorted(:,(d+1):(d+m));  f_new=f;   % Record objectives
RnD=Sorted(:,(d+m+1):end);           % Record ranks
   
for t=1:tMax,          %%%%% start the firely algorithm iterations %%%%%
   alpha=alpha*theta;  % Reduce alpha by a factor 0<theta<1
   scale=abs(Ub-Lb);   % Scale of the optimization problem
   Sol_old=Sol;        % Save the old population
   f_old=f;            % Save the old population objectives
% Two loops over all the n fireflies
for i=1:n,
    for j=i:n, 
      % Update moves and move to the brighter/more attractive
      % That is, all m objectives [i.e., f(,1:m)] should improve. 
      % For example, for m=2, this means that the logical 
      % condition (f(j,1)<=f(i,1) & f(j,2) <=f(i,2)) is true.     
      if (f(j,1:m)<=f(i,1:m)),     
         r=sqrt(sum((Sol(i,:)-Sol(j,:)).^2));
         beta=beta0*exp(-gamma*r.^2);     % Attractiveness
         steps=alpha.*(rand(1,d)-0.5).*scale;
      % The FA equation for updating position vectors 
      % That is, to move firefly i torwards firefly j
         Sol(i,:)=Sol(i,:)+beta*(Sol(j,:)-Sol(i,:))+steps;
         Sol(i,:)=simplebounds(Sol(i,:),Lb,Ub);
      end
         f(i,1:m)=obj_funs(Sol(i,1:d),m);   
   end % end for j
end % end for i
   
   %% Evalute the fitness/function values of the new population
   for j=1:n,
        f_new(j, 1:m)=obj_funs(Sol(j,1:d),m);
        if (f_new(j,1:m) <= f(j,1:m)),   % if all improve
            f(j,1:m)=f_new(j,1:m);
        end
        % Update the current best (stored in the first row)
        if (f_new(j,1:m) <= f(1,1:m)), 
            Sol(1,1:d) = Sol(j,1:d); 
            f_new(1,:)=f_new(j,:);
        end
     end % end of for loop j
     
%% ! It's very important to combine both populations, otherwise,
%% the results may look odd and will be very inefficient. !     
%% The combined population consits of both the old and new solutions
%% So the total size of the combined population for sorting is 2*n
       X(1:n,:)=[Sol f_new];               % Combine new solutions
       X((n+1):(2*n),:)=[Sol_old f_old];   % Combine old solutions
       Sorted=solutions_sorting(X, m, d);
       %% Select n solutions among a combined population of 2*n solutions
       new_Sol=Select_pop(Sorted, m, d, n);
       % Decompose into solutions, fitness and ranking
       Sol=new_Sol(:,1:d);             % Sorted solutions
       f=new_Sol(:,(d+1):(d+m));       % Sorted objective values
       RnD=new_Sol(:,(d+m+1):end);     % Sorted ranks and distances
    
  %% Running display at each 100 iterations
   if ~mod(t,100), 
     disp(strcat('Iterations t=',num2str(t))); 
     plot(f(:, 1), f(:, 2),'ro','MarkerSize',3); 
     axis([0 1 -0.8 1]);
     xlabel('f_1'); ylabel('f_2');
     drawnow;
   end        

end % End of t loop (up to tMax) and end of the main FA loop  

%% Make sure that new fireflies are within the bounds/limits
function s=simplebounds(s,Lb,Ub)
  % Apply the lower bound
  ns_tmp=s;
  I=ns_tmp<Lb;
  ns_tmp(I)=Lb(I);
  % Apply the upper bounds 
  J=ns_tmp>Ub;
  ns_tmp(J)=Ub(J);
  % Update this new move 
  s=ns_tmp;
  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Objective functions
function f = obj_funs(x, m)
% Zitzler-Deb-Thiele's funciton No 3 (ZDT function 3)
% m = # of objectives   % d = # of variables/dimensions
d=length(x);  % d=30 for ZDT 3
% First objective f1
f(1) = x(1);
g=1+9/29*sum(x(2:d));

%%%%%%%%%%%%%%%%%% end of the definitions of obojectives %%%%%%%%%%%%%%%%%%

function new_Sol = Select_pop(firefly, m, ndim, npop)
% The input population to this part has twice (ntwice) of the needed 
% population size (npop). Thus, selection is done based on ranking and 
% crowding distances, calculated from the non-dominated sorting
ntwice= size(firefly,1);
% Ranking is stored in column Krank
Krank=m+ndim+1;
% Sort the population of size 2*npop according to their ranks
[~,Index] = sort(firefly(:,Krank)); 
sorted_firefly=firefly(Index,:);
% Get the maximum rank among the population
RankMax=max(firefly(:,Krank)); 

%% Main loop for selecting solutions based on ranks and crowding distances

for i =1:RankMax,  
    % Obtain the current rank i from sorted solutions
    RankSol = max(find(sorted_firefly(:, Krank) == i));
    % In the new solutions, there can be npop solutions to fill
    if RankSol<npop,
       new_Sol(K+1:RankSol,:)=sorted_firefly(K+1:RankSol,:);
    end 
    % If the population after addition is large than npop, re-arrangement
    % or selection is carried out
    if RankSol>=npop
        % Sort/Select the solutions with the current rank 
        candidate_firefly=sorted_firefly(K + 1 : RankSol, :);
        [~,tmp_Rank]=sort(candidate_firefly(:,Krank+1),'descend');
        % Fill the rest (npop-K) fireflies/solutions up to npop solutions 
        for j = 1:(npop-K), 
            new_Sol(K+j,:)=candidate_firefly(tmp_Rank(j),:);
        end
    end
    % Record and update the current rank after adding new solutions
    K = RankSol;
end

四、运行结果

五、matlab版本及参考文献

1 matlab版本
2014a

2 参考文献
[1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例（第2版）[M].电子工业出版社，2016.
[2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社，2017.
[3]群体智能优化算法之萤火虫算法(Firefly Algorithm，FA)