12月学习进度10/31 —— 高等数学泰勒公式的两种通俗理解方式

Posted 2022-01-03 fu_GAGA

泰勒公式的通俗理解

1. 泰勒公式在做什么？

泰勒公式在用多项式函数，逼近一个复杂函数 $f(x)$

2. 泰勒公式是如何做的？

多项式中的 $a$ 表示泰勒公式的展开位置
若 $a=2$ 则在 $x=2$ 处展开，即这个多项式函数在 $x=2$ 处拟合得最好

理解方式一

【主要思想】

若 $F(x)=f(x)$

则满足

• $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$
• $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)$
• $...$
• $F^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)$

因此拟合的多项式函数就要满足以上条件

更加详细的讲解

因此，目标就是：
   ↓
让近似多项式函数在 $x=a$ 处的y值, 一阶导, 二阶导 …n阶导的值 = 原始函数在 $x=a$ 处的y值, 一阶导, 二阶导 …n阶导

恰好我们已知幂函数有这样的性质：

• $x^1$ 的 $1$ 阶导 为1
• $\frac{x^2}{2}$ 的 $2$ 阶导 为1
• $\frac{x^3}{6}$ 的 $3$ 阶导 为1 （其中 $6=3!$）
• $\frac{x^4}{24}$ 的 $4$ 阶导 为1（其中 $24=4!$）
• …
• $\frac{x^n}{n!}$ 的 $n$ 阶导 为1

以 $a=0$ 为例：（麦克劳林公式是 $a=0$ 时的泰勒公式）

则上述多项式就可以满足在 $x=0$ 处的 $1$ 到 $n$ 阶导都与原复杂函数一致

但该多项式函数只能 $\approx$ 原复杂函数，是因为该近似多项式函数只是在 $x=0$ 处（展开位置）及其附近拟合很好，但距离展开位置 $x=0$ 越远，拟合效果越差。

↓ 引入余项

佩亚诺余项 $O(x^n)$ 是当 $x\to 0$ 时比 $x^n$ 高阶的无穷小

（上述截图自这里）

理解方式二

【幂函数】
幂函数按形态分为两类：

1. 关于Y轴对称，偶函数 （例：$x^2$）
2. 关于原点对称，奇函数 （例：$x^3$）

将多项式曲线看做一根铁丝，幂函数的加和对曲线的改变，可以看作是幂函数施加在铁丝上的力，使其弯曲。
目标：通过增加力（幂函数）弯曲铁丝，使其形状与复杂函数曲线一致

（1）奇函数：
关于原点对称 → 对曲线两边的作用力方向相反（例 $x^3$ 对右边曲线向上拉，对左边曲线向下拉）

（2）偶函数：
关于Y轴对称 → 对曲线两边的作用力方向相同

例：

利用多项式对 $sin(x)$ 进行近似，累加 $-\frac{x^7}{7!}$ 项，将原多项式曲线的右边向下拉，左边向上拉，近似结果要比不增加该项要好。

详见讲解视频，图像演示非常清楚