组合数学经典方程的对偶方程一个不等式问题（例题：acwing1312 序列统计）

Posted 2022-01-02 hans774882968

经典方程的对偶方程

方程，指经典方程sum(x[j]) = n, 1 <= j <= m, x[j] >= 0。它的解的个数很容易求，设有n个球和m-1个隔板，则隔板间的空隙有m个且允许为空，故解数C(n+m-1,n)。

它的对偶问题是什么呢？设以上经典方程为(m,n)，并设对偶问题为(p,q)，则：

p+q-1 = n+m-1

q = m-1（注意，不可能是q = n）

于是解得(n+1,m-1)。这意味着sum(x[j]) = m-1, 1 <= j <= n+1, x[j] >= 0的解数和原方程的解数相同。我们代入即可验证，对偶方程的对偶方程就是原方程。

一个不等式问题

不等式，指sum(x[j]) <= n, 1 <= j <= m, x[j] >= 0。我们构造一个新变量x[0] >= 0，则得到一个方程(m+1,n)（沿用上面约定的记号）。只需要证明解相互包含即可证明它们解数相同。

一个原不等式的解，总对应着新方程的x[0] = n-sum(x[j])的解，所以原不等式的解数 <= 新方程。一个新方程的解，总对应着一个原不等式的解，因为它们都满足原不等式的要求，所以新方程的解数 <= 原不等式。证毕。

acwing1312 序列统计

传送门

（我交不了555）

题意：给定三个正整数N,L,R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。

N,L,R都是1e9，模1e6+3，多组样例。

首先元素大小改成都在0 ~ R-L+1之间。固定数组长度为k，即求0 <= a[1] <= ... <= a[k] <= R-L的方案数。再考虑设变量x[i] = a[i] - a[i-1], x[1] = a[1]，于是求sum(x[i]) <= R-L, x[i] >= 0的解数即可（注意这里有k个不等式要满足，但最后一个不等式满足即可满足前面的，所以只指出这一个）。

根据《一个不等式问题》，我们得到它等价于方程(k+1,R-L)，解数C((k+1)+(R-L)-1,(k+1)-1) = C(k+(R-L),k)。

接下来我们需要求ans = sum(C(k+R-L,k)),k >= 1，即ans = sum(C(k+R-L,k)) - 1,k >= 0。不妨把k换成R-L，即C(R-L+k,R-L)。这个求和式是变量个数在变，总和为定值，不好处理，不妨用《经典方程的对偶方程》的结论来转化。(k+1,R-L) <=> (R-L+1,k)，再根据《一个不等式问题》，求和式对应的方程是(R-L+2,n)，所以ans = C(R-L+1+n,n) - 1。

总结：反复使用上面介绍的两个结论即可解决。

再解决一个经典问题

求sum(C(n+i,i)),0 <= i <= m。

设C(n+i,i)表示的方程是(x,y)，则

x+y-1 = n+i

y = i（y = n不太方便，因为这样导致变量个数在变）

得x = n+1, y = i。根据《一个不等式问题》，原问题就是方程(n+2,m)，所以ans = C(n+m+1,m)。

同理，可证
$$C_{n+1}^{k+1}=\sum _{i=0}^n{C}_i^k$$
证明：C(i,k)对应方程(k+1,i-k)的解数，推出ans对应方程(k+2,n-k)的解数。