《算法零基础100讲》(第49讲) 位运算 (右移)

Posted 2022-01-01 英雄哪里出来

文章目录

• 零、写在前面
• 一、概念定义
• • 1、右移运算符的定义
  • • 1）右移的二进制形态
    • 2）右移的执行结果
    • 3）负数右移的执行结果
    • 4）右移负数位是什么情况
  • 2、右移运算符的应用
  • • 1）去掉低 k 位
    • 2）取低位连续 1
    • 3）取第k位的值
• 二、题目描述
• 三、算法详解
• 四、源码剖析
• 五、推荐专栏
• 六、习题练习

零、写在前面

  这是《算法零基础100讲》 专栏打卡学习的第四十九天了。
  每天打卡的题，做不出来没关系，因为困难的题涉及知识点较多，后面还是会开放出来的，就像昨天的 最大公约数 那道题今天还是会有，所以不要着急，内容能看懂，能自己分析，能做出简单题，就可以打卡。
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一、概念定义

1、右移运算符的定义

1）右移的二进制形态

  右移运算符是一个二元的位运算符，也就是有两个操作数，表示为x >> y。其中x和y均为整数。
  x >> y念作：“将 $x$ 右移 $y$ 位”，这里的位当然就是二进制位了，那么它表示的意思也就是：先将 $x$ 用二进制表示，对于正数，右移 $y$ 位；对于负数，右移 $y$ 位后高位都补上 1。
  举个例子：对于二进制数 $87_{10}=(1010111{)}_2$ 左移 $y$ 位的结果就是：
$$(1010{)}_2$$

2）右移的执行结果

  x >> y的执行结果等价于：$$\lfloor \frac{x}{2^y}\rfloor$$其中 $\lfloor a\rfloor$ 代表对 $a$ 取下整。如下代码：

#include <stdio.h>
int main() 
    int x = 0b1010111;
    int y = 3;
    printf("%d\\n", x >> y);
    return 0;

  输出结果为：10
  正好符合这个右移运算符的实际含义：$$10=\lfloor \frac{87}{2^3}\rfloor$$

由于除法可能造成不能整除，所以才会有 取下整 这一步运算。

3）负数右移的执行结果

  所谓负数右移，就是x >> y中，当x为负数的情况，代码如下：

#include <stdio.h>
int main() 
    printf("%d\\n", -1 >> 1);
    return 0;

  它的输出为：-1。
  我们发现同样是满足 $\lfloor \frac{x}{2^y}\rfloor$ 的（注意，负数的 取下整 和 正数 是正好相反的），这个可以用补码来解释，-1的补码为：$$11111111111111111111111111111111$$ 右移一位后，由于是负数，高位补上 1，得到：$$11111111111111111111111111111111$$ 而这，正好是 -1的补码，同样，继续右移 1 位，得到。可以理解成 - (x >> y)和(-x) >> y是等价的。

【例题1】要求不运行代码，肉眼看出这段代码输出多少。

#include <stdio.h>
int main() 
    int x = (1 << 31) | (1 << 30) | 1;
    int y = (1 << 31) | (1 << 30) | (1 << 29);
    printf("%d\\n", (x >> 1) / y);
    return 0;

4）右移负数位是什么情况

  刚才我们讨论了 $x<0$ 的情况，那么接下来，我们试下 $y<0$ 的情况会是如何？
  是否同样满足：$\lfloor \frac{x}{2^y}\rfloor$ 呢？
  如果还是满足，那么两个整数的左移就有可能产生小数了。
  看个例子：

#include <stdio.h>
int main() 
    printf("%d\\n", 1 >> -1);   // 2
    printf("%d\\n", 1 >> -2);   // 4
    printf("%d\\n", 1 >> -3);   // 8
    printf("%d\\n", 1 >> -4);   // 16
    printf("%d\\n", 1 >> -5);   // 32
    printf("%d\\n", 1 >> -6);   // 64
    printf("%d\\n", 1 >> -7);   // 128
    return 0;

  虽然能够正常运行，但是结果好像不是我们期望的，而且会报警告如下：

[Warning] right shift count is negative [-Wshift-count-negative]

  实际上，编辑器告诉我们尽量不用右移的时候用负数，但是它的执行结果不能算错误，起码例子里面对了。右移负数位其实效果和左移对应正数数值位一致。
  左移相关的内容，可以参考：《算法零基础100讲》(第48讲) 位运算 (左移)。

2、右移运算符的应用

1）去掉低 k 位

【例题2】给定一个数 $x$，去掉它的低 $k$ 位以后进行输出。

  这个问题，可以直接通过右移来完成，如下：x >> k。

2）取低位连续 1

【例题3】获取一个数 $x$ 低位连续的 1 并且输出。

  对于一个数 $x$，假设低位有连续 $k$ 个 1。如下：$$(...0\underset{\mathrm{k}}{\underbrace{1...1}}{)}_2$$ 然后我们将它加上 1 以后，得到的就是：$$(...1\underset{\mathrm{k}}{\underbrace{0...0}}{)}_2$$ 这时候将这两个数异或结果为：$$(\underset{\mathrm{k}+1}{\underbrace{1...1}}{)}_2$$
  这时候，再进行右移一位，就得到了 连续 $k$ 个 1 的值，也正是我们所求。所以可以用以下语句来求：(x ^ (x + 1)) >> 1。

3）取第k位的值

【例题4】获取一个数 $x$ 的第 $k(0\le k\le 30)$ 位的值并且输出。

  对于二进制数来说，第 $k$ 位的值一定是 0 或者 1。
  而 对于 1 到 $k-1$ 位的数字，对于我们来说是没有意义的，我们可以用右移来去掉，再用位与运算符来获取二进制的最后一位是 0 还是 1，如下：(x >> k) & 1。

二、题目描述

  给你一个整数 $n$，请你判断该整数是否是 $2$ 的幂次方。如果是，返回 true；否则，返回 false。如果存在一个整数 $x$ 使得 $n==2^x$，则认为 $n$ 是 $2$ 的幂次方。

三、算法详解

  这道题在这个专栏里已经出现了无数次了，因为它确实可以 “一题多做”。这次的用法，就是利用迭代的方式，不断将数右移一位，如果得到的结果为 1，就是 2 的幂；如果不为一，但是是奇数，则表示一定不是 2 的幂。

四、源码剖析

bool isPowerOfTwo(int n)
    int i;
    if(n <= 0) 
        return false;
    
    while(1) 
        if(n == 1) 
            return true;     // (1)
        
        if(n & 1) 
            return false;    // (2)
        
        n >>= 1;             // (3)
    
    return false;

• $(1)$ 代表最高位为 1，其它低位都是 0；
• $(2)$ 代表 1 出现在非最高位的位置上；
• $(3)$ 执行一次右移；

五、推荐专栏

💜《夜深人静写算法》💜   （三）初等数论入门

六、习题练习

序号	题目链接	难度
1	位1的个数	★☆☆☆☆
2	2的幂	★☆☆☆☆
3	4的幂	★☆☆☆☆
4	数字转换为十六进制数	★★☆☆☆

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