挑战程序设计竞赛（算法和数据结构）——13.1基于加权图的两类问题的描述

Posted 2021-12-31 小乖乖的臭坏坏

最小生成树

• 树是没有环的图。在树中，任意顶点$r$和$v$之间必然存在着1条路径。
• 图$G=(V,E)$的生成树$G=(V^{\prime },E^{\prime })$是图$G$的子图，它拥有图$G$所有的顶点$V(V=V^{\prime })$，且保证自身为树的前提下拥有尽可能多的边。图的生成树可通过深度优先搜索和广度优先搜索得到，且结果不唯一。
• 最小生成树是指各边权值总和最小的生成树。

最短路径

在加权图$G=(V,E)$中，求给定顶点$s$,$d$之间各边权值总和最小的路径，这就是最短路径问题。这个问题主要分为以下两类：

• 单源最短路径问题。在图$G$中，求给定顶点$s$到其他所有顶点$d_i$之间的最短路径。
• 全点对间最短路径。在图$G$中，求“每一对顶点”之间的最短路径
  对于各边权值非负的加权图$G=(V,E)$，如果顶点$s$到$G$所有顶点都存在路径，那么一定存在一颗以$s$为根，包含$s$到$G$所有顶点字段路径的生成树$T$。这种树就称为最短路径生成树。