算法基础系列第三章——层层推进的BFS
Posted 杨枝
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法基础系列第三章——层层推进的BFS相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
最基础的穷竭搜索——宽度优先搜索
| 核心列表 |
|---|
| ⭐小试牛刀——走迷宫 |
| ⭐知识储备 |
| ⭐解题思路 |
| ⭐举一反三——信息学奥赛一本通-T1255 |
小试牛刀——走迷宫 ✒
问题描述 ✒
给定一个 n×m 的二维整数数组，用来表示一个迷宫，数组中只包含 0 或 1，其中 0 表示可以走的路，1 表示不可通过的墙壁。
最初，有一个人位于左上角 (1,1) 处，已知该人每次可以向上、下、左、右任意一个方向移动一个位置。
请问，该人从左上角移动至右下角 (n,m) 处，至少需要移动多少次。
数据保证 (1,1) 处和 (n,m) 处的数字为 0，且一定至少存在一条通路。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数（0 或 1），表示完整的二维数组迷宫。
输出格式
输出一个整数，表示从左上角移动至右下角的最少移动次数。
数据范围
1≤n,m≤100
输入样例：
5 5
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 0
输出样例：
8
原题链接：https://www.acwing.com/problem/content/846/
参考代码(C++版本)
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 110;
int n,m;
int g[N][N],d[N][N]; //存放地图的数组和存放距离的数组
queue<PII> q;
int bfs()
memset(d,-1,sizeof d);//使用<cstring>中的库函数memset快速初始化数组
d[0][0] = 0;//标记点(0,0)已经走过了
q.push(0,0);
//放置的偏移量数组
int dx[] =-1,0,1,0,dy[] = 0,1,0,-1;
//当队列不为空，执行下述操作
while(q.size())
auto t = q.front(); //取出队头元素
q.pop();//已获得队头信息，队头可以出队了
//对四个方向进行探索
for(int i = 0; i < 4;i++)
//利用向量数组获得四个方向的坐标
int x = t.first+dx[i],y = t.second+dy[i];
if(x >= 0 && x < n && y >= 0 &&y <m && g[x][y] == 0&& d[x][y] == -1)
d[x][y] = d[t.first][t.second]+1;//更新现在的点(x,y)到起点的距离
q.push(x,y);//将新的坐标入队
return d[n-1][m-1];//返回起点到顶点的宽搜结果
int main()
cin >> n >>m;
for(int i = 0; i < n;i++)
for(int j = 0;j< m;j++) cin >> g[i][j];
cout << bfs() <<endl;
return 0;
知识储备🌊🌊🌊
宽度优先搜索(Breadth-first search,BFS)
一点闲话🌹
宽度优先搜索也是一种常用的搜索方式之一，和它一起耳熟能详的是深度优先搜索(DFS),都是从某个状态出发，探索所有可以到达的状态
BFS的搜索模式🎯
宽度优先搜索总是先搜索距离初始状态近的状态。也就是说，它是按照这样的顺序进行搜索的，开始状态——>只需转移1次就可以到达的所有状态——>只需转移2次就可以到达的所有状态——>…。对于同一个位置，宽度优先搜索只会经过它一次，以后再碰到它便不会再检索它。
BFS依赖的数据结构🎯
宽度优先搜索不同于深度优先搜索，它是一层一层的进行遍历，因此需要用到的是先入先出的队列
BFS的用武之地🎯
BFS可以用于处理一下问题:
- 第一类问题：可达性问题。从结点A出发，有前往结点B的路径吗？
- 第二类问题：最短路问题。从结点A出发，前往结点B的哪条路最短？
由于按照层次逐层进行搜索、遍历，宽度优先搜索时按照距开始状态由近及远的顺序进行搜索，也就常常用来处理最短路、最少操作等问题。
注意：宽度优先搜索只能解决每条边的权值是相同的最短路径问题。其他情况的最短路问题需要使用专门的最短路算法，比如：Dijkstra算法、Bellman-Ford算法等等。这些算法后续我也会持续更出对它们的理解和总结的喔~🎉🎉🎉
解题思路🌊🌊🌊
BFS的运作流程🎯
前提铺垫：使用数组d[]记录个当前点v到起点s的距离
- 将起点s放入队列Q中(访问)
- 只要Q不空，循环执行下述操作
- 从Q中取出顶点u进行访问(访问结束)
- 将与u相邻的未访问的顶点v放入Q，同时将d[v]更新为d[u] +1
逻辑思路讲解🎯
- 输入：创建地图 🎶
cin >> n >>m; for(int i = 0; i < n;i++) for(int j = 0;j< m;j++) cin >> g[i][j]; - 调用bfs()函数🎶
实现宽搜的bfs()函数🎶cout << bfs() <<endl;- 🎹前戏——初始化整个距离数组
2.🎹 将起点s放入队列Q中(访问)memset(d,-1,sizeof d);//使用的是<cstring>库中的memset函数，按照字节对传入的数组全部初始化为-1 d[0][0] = 0;//表示点(0,0)已经走过了q.push(0,0);- 🎹只要Q不空，循环执行下述操作===> 取队头，拓展队头
int dx[] =-1,0,1,0,dy[] = 0,1,0,-1; while(q.size()) auto t = q.front(); q.pop(); for(int i = 0; i < 4;i++) int x = t.first+dx[i],y = t.second+dy[i]; if(x >= 0 && x < n && y >= 0 &&y <m && g[x][y] == 0&& d[x][y] == -1) d[x][y] = d[t.first][t.second]+1; q.push(x,y); - 快乐Ac 💫
难点剖析🌊🌊🌊
最难处理的应该是循环体中的逻辑怎么安排
首先，按照bfs运作流程取出队头.这里使用了c++的关键字auto,它会自动判断返回值类型，偷懒省事必备喔💓
获得队头信息以后，这个队头就可以出队了，使得下一个信息可以来到队头的位置被获取
auto t = q.front();
q.pop()
然后，将与u相邻的未访问的顶点v放入Q 也就是拓展队头，判断队头可以向走到哪些位置。此处取巧使用了向量数组来表示4个移动的方向。将获取后的新坐标放到if判断里，判断其是否越界，是否是可以探索的，是否被探索过。假如都没有，那就占据这个点，也就是将其入队，同时将d[v]更新为d[u] +1
for(int i = 0; i < 4;i++)
int x = t.first+dx[i],y = t.second+dy[i];
if(x >= 0 && x < n && y >= 0 &&y <m && g[x][y] == 0&& d[x][y] == -1)
d[x][y] = d[t.first][t.second]+1;
q.push(x,y);
关于方向向量数组
如图，可以将一个坐标点进行抽象，那么它在x轴上能活动的区域，按照顺时针记录，是-1,0,1,0。对于y一样可以这种记录，即0,1,0,-1。
使用向量数组可以简化我们的代码，对于四个方向的探索就可以不用麻烦的写if判断
举一反三——信息学奥赛一本通-T1255
给定一个 n×n 的二维数组，如下所示：
int maze[5][5] =
0, 1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 0, 0,
0, 1, 1, 1, 0,
0, 0, 0, 1, 0,
;
它表示一个迷宫，其中的1表示墙壁，0表示可以走的路，只能横着走或竖着走，不能斜着走，要求编程序找出从左上角到右下角的最短路线。
数据保证至少存在一条从左上角走到右下角的路径。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含 n 个整数 0 或 1，表示迷宫。
输出格式
输出从左上角到右下角的最短路线，如果答案不唯一，输出任意一条路径均可。
按顺序，每行输出一个路径中经过的单元格的坐标，左上角坐标为 (0,0)，右下角坐标为 (n−1,n−1)。
数据范围
0≤n≤1000
输入样例：
5
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 0
输出样例：
0 0
1 0
2 0
2 1
2 2
2 3
2 4
3 4
4 4
参考代码(C++版本)
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 1010;
int n;
int g[N][N];
PII prev_num[N][N];
void bfs(int sx,int sy)
queue<PII> q;
//入队
q.push(sx,sy);
int dx[] = -1,0,1,0,dy[] = 0,1,0,-1;
memset(prev_num,-1 ,sizeof prev_num);
//当队列不为空
while(q.size())
//取队头
PII t = q.front();
q.pop();
//拓展队头
for(int i = 0;i < 4;i++)
int a = t.first+dx[i],b = t.second+dy[i];
if(a< 0 || a >= n || b < 0 || b >= n) continue;//越界
if(g[a][b]) continue;//墙
if(prev_num[a][b].first != -1) continue;
//加到队列
q.push(a,b);
//记录上个状态的位置
prev_num[a][b] = t;
int main()
scanf("%d",&n);
for(int i = 0; i <n;i++)
for(int j = 0;j < n;j++) scanf("%d",&g[i][j]);
bfs(n-1,n-1);
PII end(0,0);
while(true)
printf("%d %d\\n",end.first,end.second);
if(end.first == n-1 && end.second == n-1) break;
end = prev_num[end.first][end.second];
return 0;
解题思路🌊🌊🌊
这道迷宫问题和走迷宫几乎是一样的，思路是一样的，用宽度优先搜索一层一层的去查找，第一次搜索到的终点就是最短路径。要求我们输出这段路径。
道理谁都懂，随口就能生动形象的描述出来，从这个点走到哪个点，再转一下…问题怎么用代码实现出来了？
我们来手动模拟一下bfs探索的过程，先取出队头，然后咱们站在队头的位置，眺望四方，康康哪里可以走了？喔~~~ 那里可以走，好的，走上去,记录下当前的位置，再探索。按照这种流程，我们可以开一个数组，记录当前这个点(x,y)是从哪个点走过来的。
详细剖析
记录数据🎯
typedef pair<int,int> PII;
PII prev_num[N][N];
// 记录数据的伪代码如下：
prev_num[x][y] = 探索前的坐标
//记录上个状态的位置
prev_num[a][b] = t;
-
涉及的stl容器：pair(数对)是将2个数据组合成一组数据。pair的实现是一个结构体，主要的两个成员变量first和second，分别存储两个数据。因为我们要输出的是一组坐标，那么用数对pair来记录会让我们，如鱼得水
-
关于prev_num[x][y] = 探索前的点,有小伙伴读起来可能比较蒙，what’s this ?！各位看官，可这种理解喔💓💓💓。
现在有一个二维矩阵，矩阵的类型是存放一组int型变量的数对，矩阵的名字是prev_num。现在让矩阵中位置是(x,y)的这块空间存放探索前的坐标t(这个坐标肯定也是数对类型的啦~)
输出数据🎯
经过一番倒腾，数据终于记录进去了，现在怎么输出这个二维数组了？注意喔，正是因为它是二维数组，所以不能很暴力的直接两个for循环输出结果。因为其他没有用到的位置也会被遍历输出。
这里就出现了比较巧妙的一点，bfs搜索的时候，倒着搜索回去。那我存放的点就是从起点(0,0)逐步逐步的到达终点，这样我们就可以正向遍历这段路径了
bfs(n-1,n-1);//倒着搜回去
PII end(0,0);//创建一个PII类型的变量end，初始化为(0,0)
while(true)
printf("%d %d\\n",end.first,end.second);
if(end.first == n-1 && end.second == n-1) break;
end = prev_num[end.first][end.second];
快乐Ac~
谢谢耐心观看啦~，若有偏颇，欢迎及时指出喔💓💓💓
基础算法持续更新中ing~
以上是关于算法基础系列第三章——层层推进的BFS的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章