Barrett And Montgomery of Polynomials

Posted 2021-12-30 山登绝顶我为峰 3(^v^)3

Barrett reduction of polynomials

对于$f,g\in Z_p[x]$，其中$p$是素数。那么：
$$f\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}g=f-\lfloor \frac{f}{g}\rfloor g$$
其中的分式属于分式域：$1/g\in \frac{f}{g}|f,g\in Z_p[x]$

我们寻找一个$m\in Z_p[x]$，使得：
$$\frac{1}{g}=\frac{m}{R}$$
其中，$R=x^k\in Z_p[x]$，$k$是某个正整数

那么选取：
$$m=\lfloor \frac{R}{g}\rfloor \in Z_p[x]$$
误差大小为：
$$e=\frac{1}{g}-\frac{\lfloor \frac{R}{g}\rfloor }{R}$$
于是，
$$f\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}g\approx f-\lfloor \frac{f\cdot m}{R}\rfloor g$$
选取足够大的$k$，使得$f\cdot e$的系数足够小，那么：
$$f\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}g=f-((f\cdot m)\gg k)g\in Z_p[x]$$
这里的$\gg$运算定义为$({\sum }_{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i\gg k):={\sum }_{i=k}^{n-1}{a}_i{x}^{i-k}$

Montgomery multiplication of polynomials

对于$f,g,h\in Z_p[x]$，其中$p$是素数。计算：$f\cdot g\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}h$

首先，寻找$R=x^k\in Z_p[x]$，其中$k$是某个正整数，使得$gcd(R,h)=1$

计算：
$$\begin{gathered} h^{-1}\cdot h\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}R \\ {R}^{-1}\cdot R\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}h \end{gathered}$$
做可逆映射：
$$\begin{gathered} \overline{f}=fR\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}h \\ \overline{g}=gR\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}h \end{gathered}$$
那么
$$\overline{fg}=fgR=\overline{f}\cdot \overline{g}\cdot R^{-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}h$$
简记$T=\overline{f}\cdot \overline{g}$，则 f g ‾ = T R − 1 \\overlinef g = TR^-1 Barrett约减

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