《算法零基础100讲》(第46讲) 位运算 (异或) 入门

Posted 2021-12-29 英雄哪里出来

文章目录

• 零、写在前面
• 一、概念定义
• • 1、异或运算符的定义
  • 2、异或运算符的应用
  • • 1）标记位取反
    • 2）变量交换
    • 3）出现奇数次的数
• 二、题目描述
• 三、算法详解
• 四、源码剖析
• 五、推荐专栏
• 六、习题练习

零、写在前面

  这是《算法零基础100讲》 专栏打卡学习的第四十六天了。
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一、概念定义

1、异或运算符的定义

  异或运算符是一个二元的位运算符，也就是有两个操作数，表示为x ^ y。
  异或运算会对操作数的每一位按照如下表格进行运算，对于每一位只有 0 或 1 两种情况，所以组合出来总共 $2^2=4$ 种情况。

左操作数	右操作数	结果
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

  通过这个表，我们得出一些结论：
  1）两个相同的十进制数异或的结果一定为零。
  2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
  3）异或运算满足结合律和交换律。

#include <stdio.h>
int main() 
    int a = 0b1010;           // (1)
    int b = 0b0110;           // (2)
    printf("%d\\n", (a ^ b) ); // (3)
    return 0;

• $(1)$ 在C语言中，以0b作为前缀，表示这是一个二进制数。那么a的实际值就是 $(1010{)}_2$。
• $(2)$ 同样的，b的实际值就是$(0110{)}_2$；
• $(3)$ 那么这里a ^ b就是对$(1010{)}_2$ 和 $(0110{)}_2$ 的每一位做表格中的^运算。

  所以最后输出结果为：12。因为输出的是十进制数，它的二进制表示为： $(1100{)}_2$。

2、异或运算符的应用

1）标记位取反

【例题1】给定一个数，将它的低位数起的第 4 位取反，0 变 1，1 变 0。

  这个问题，我们很容易联想到异或。我们分析一下题目意思，如果第 4 位为 1，则让它异或上 0b1000就能变成 0；如果第 4 位 为 0，则让它异或上 0b1000就能变成 1，也就是无论如何都是异或上 0b1000，代码如下：

#include <stdio.h>
int main() 
    int x;
    scanf("%d", &x);
    printf("%d\\n", x ^ 0b1000); 
    return 0;

2）变量交换

【例题2】给定两个数 $a$ 和 $b$，用异或运算交换它们的值。

  这个是比较老的面试题了，直接给出代码：

#include <stdio.h>
int main() 
    int a, b;
	while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) 
	    a = a ^ b;   // (1)
	    b = a ^ b;   // (2)
	    a = a ^ b;   // (3)
	    printf("%d %d\\n", a, b);
	
	return 0;

  我们直接来看 $(1)$ 和 $(2)$ 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
  而再来看第 $(3)$ 句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
  从而实现了变量a和b的交换。

3）出现奇数次的数

【例题3】输入 $n$ 个数，其中只有一个数出现了奇数次，其它所有数都出现了偶数次。求这个出现了奇数次的数。

  根据异或的性质，两个一样的数异或结果为零。也就是所有出现偶数次的数异或都为零，那么把这 $n$ 个数都异或一下，得到的数就一定是一个出现奇数次的数了。

#include <stdio.h>
int main() 
    int n, x, i, ans;
    scanf("%d", &n);
    ans = 0;
    for(i = 0; i < n; ++i) 
        scanf("%d", &x);
        ans = (ans ^ x);
     
    printf("%d\\n", ans);
    return 0;

二、题目描述

  未知 整数数组 arr由 encodedSize+1个非负整数组成。经编码后变为长度为 encodedSize的另一个整数数组 encoded，其中 encoded[i] = arr[i] XOR arr[i + 1]。例如，arr = [1,0,2,1]经编码后得到 encoded = [1,2,3]。给你编码后的数组 encoded和原数组 arr的第一个元素 first(arr[0])。请解码返回原数组 arr。可以证明答案存在并且是唯一的。

三、算法详解

  首先，编码前的数组为未知数，并且有 encodedSize+1个，所以我们需要生成一个长度为 encodedSize+1的数组，将第一个元素赋值为first，即arr[0] = first，代表它是一个已知数。
  而encoded是一个长度为encodedSize的已知数组，并且满足encoded[i] = arr[i] XOR arr[i + 1]，从而得到：

encoded[0] = arr[0] XOR arr[1];

那么，我们给等式两边都异或上arr[0]，就得到了：

arr[1] = encoded[0] XOR arr[0];

从而计算出了arr[1]的值，同理，可以得到：

arr[2] = encoded[1] XOR arr[1];
arr[3] = encoded[2] XOR arr[2];
...
arr[i] = encoded[i-1] XOR arr[i-1];

递推求解即可。

四、源码剖析

int* decode(int* encoded, int encodedSize, int first, int* returnSize)
    int *arr = (int *)malloc( (encodedSize+1) * sizeof(int));
    int i, sum = 0;
    *returnSize = encodedSize + 1;
    arr[0] = first;
    for(i = 1; i < *returnSize; ++i) 
        arr[i] = (arr[i-1] ^ encoded[i-1]);
    
    return arr;

五、推荐专栏

💜《夜深人静写算法》💜   （三）初等数论入门

六、习题练习

序号	题目链接	难度
1	只出现一次的数字	★☆☆☆☆
2	颠倒二进制位	★☆☆☆☆
3	汉明距离	★☆☆☆☆
4	数组异或操作	★☆☆☆☆
5	汉明距离之和	★☆☆☆☆
6	解码异或后的数组	★☆☆☆☆