机器学习 | 实验二：多变量线性回归

Posted 2023-03-13 啦啦右一

⭐ 对应笔记
单变量线性回归
多变量线性回归

📚描述

在本练习中，我们将使用梯度下降和正态方程来研究多元线性回归。我们还将研究代价函数J(θ)、梯度下降的收敛性和学习率α之间的关系。

📚数据

这是俄勒冈州波特兰市的一套房价训练集，其中输出y (i)是价格，投入的x (i)是居住面积和卧室的数量。有m = 47个训练样例。

📚预处理数据

将训练样例的数据加载到程序中，并将x_0=1截距项添加到x矩阵中。

x=load('ex2x.dat');
y=load('ex2y.dat');
m=length(y);
x=[ones(m,1),x];

看看输入值x (i)的值，并注意到居住区域大约是卧室数量的1000倍。这种差异意味着对输入进行预处理将显著提高梯度下降的效率。在您的程序中，根据标准差来衡量这两种类型的输入，并将它们的平均值设为零。

%数据标准化，进行特征收缩，减少迭代次数，加快梯度下降速度
sigma=std(x);
mu=mean(x);
x(:,2)=(x(:,2)−mu(2))./sigma(2);
x(:,3)=(x(:,3)−mu(3))./sigma(3);

📚梯度下降

以前，我们对一个单变量回归问题实现了梯度下降。现在唯一的区别是在矩阵x中还有一个特征。

(1)假设函数依然是

(2)梯度下降规则

同样的，需要将θ初始化为0

📚使用J(θ)选择一个学习率

现在是时候选择学习率α了。这部分的目标是在如下范围选择一个好的学习率

我们将通过进行初始选择、运行梯度下降和观察成本函数，并相应地调整学习率来做到这一点。回想一下，成本函数被定义为

代价函数也可以写成以下向量化形式

其中

当我们使用像Matlab/Octave这样的数值计算工具时，向量化的版本是非常有用和有效的，而且这两种形式是等价的。

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现在，以初始学习速率运行梯度下降大约50次迭代。在每次迭代中，计算J(θ)并将结果存储在一个向量J中。最后一次迭代后，将J值与迭代次数进行绘制。

theta=zeros(size(x(1,:)))'; % initialize fitting parameters
alpha=0.18;
J=zeros(50,1);

for num_iterations=1:50
	h=x*theta;%拟合函数
	E=h-y;
	J(num_iterations,1)=(0.5/m)*(E'*E);
	theta=theta-(alpha/m)*x'*E;
end

figure;
plot(0:49,J(1:50),'-')
xlabel('Number of iterations')
ylabel('Cost J')

我这里选用了0.18的学习率，所得图像为：

如果你的图表看起来非常不同，特别是如果你的J(θ)值增加了，甚至失效了， 那么调整学习率，然后再试一次。我们建议以次小值的3倍（即0.01、0.03、0.1、0.3等）测试α。如果这将帮助您看到曲线中的总体趋势，那么您可能还希望调整正在运行的迭代次数。

为了比较不同的学习率如何影响收敛性，在同一图上绘制多个学习率的J(θ)是有帮助的。Matlab/Octave中，这可以通过在图之间保持命令多次执行梯度下降来实现。具体地说，如果您尝试了三个不同的alpha值（您可能应该尝试更多的值），并将成本存储在J1、J2和J3中，您可以使用以下命令在同一图上绘制它们：

plot(0:49,J1(1:50),'b−');
hold on;
plot(0:49,J2(1:50),'r−');
plot(0:49,J3(1:50),'k−');

最后的参数'b−'，'r−'，'k−'为图表指定了不同的绘图样式。键入help plot以获取有关打印样式的更多信息。

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x = load('ex2x.dat'); 
y = load('ex2y.dat');
m = length(y);
x = [ones(m,1),x];

sigma = std(x);
mu = mean(x);  
x(:,2) = (x(: ,2) - mu(2)) ./ sigma(2); 
x(:,3) = (x(: ,3) - mu(3)) ./ sigma(3);

theta = zeros(size(x(1,:)))'; 
alpha = [0.01, 0.03, 0.1, 0.3];
J = zeros(50,1);
for k = 1:4
    theta = zeros(size(x(1,:)))';
    for num_i = 1:50 
        J(k,num_i) = (0.5/m) .* (x * theta - y)' * (x * theta - y);
        theta = theta - alpha(k) / m * (x' * (x * theta - y)); 
    end
end
figure;

plot(0:49,J(1, 1:50),'b-');
hold on;
plot(0:49,J(2, 1:50),'r-');
plot(0:49,J(3, 1:50),'k-');
plot(0:49,J(4, 1:50),'y-');

xlabel ('Number of iterations') 
ylabel ('Cost J ')
legend('alpha=0.01','alpha1=0.03','alpha2=0.1','alpha3=0.3');

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回答下列问题

⭐随着学习率的变化，观察成本函数的变化。当学习率太小时会发生什么？太大了？

梯度下降算法的每次迭代受到学习率的影响， 如果学习率𝑎过小，则达到收敛所需的迭代次数会非常高； 如果学习率𝑎过大，每次迭代可能不会减小代价函数，可能会越过局部最小值导致无法收敛。

⭐使用您找到的最佳学习率，运行梯度下降直到收敛找到

（a）θ 的最终值

（b）1650平方英尺和3间卧室的房屋预计价格。

这里选用0.3作为学习率。

x = load('ex2x.dat'); 
y = load('ex2y.dat');
m = length(y);
x = [ones(m,1),x];

sigma = std(x);
mu = mean(x);
x(:,2) = (x(: ,2) - mu(2)) ./ sigma(2);
x(:,3) = (x(: ,3) - mu(3)) ./ sigma(3);

theta = zeros(size(x(1,:)))';
alpha = 0.3;
J = zeros(50,1);
for num_i = 1:50
J(num_i,1) = (0.5/m) .* (x * theta - y)' * (x * theta - y);
theta = theta - alpha / m * (x' * (x * theta - y));
end

figure;

plot(0:49,J,'r-');
xlabel ('Number of iterations')
ylabel ('Cost J ')

p = (1650 - mu(2))./sigma(2);
q = (3 - mu(3))./sigma(3);
temp = [1;p;q];
price = theta'*temp;

θ 的最终值和最后的预测房价为：

📚正规方程

使用这个公式不需要任何特征缩放，你将在一次计算中得到一个精确的解：没有像梯度下降一样的“循环直到收敛”

⭐用正规方程计算θ，并计算房价，观察和梯度下降法得到的价格一样吗？

x = load('ex2x.dat'); y = load('ex2y.dat');
m = length(y);
x = [ones(m,1),x];

theta = zeros(size(x(1,:)))';
theta = pinv(x'*x)*x'*y;
temp=[1;1650;3];
price = theta'*temp;

最后所求得房价和梯度下降法求得的房价大致相同，仅有些许误差。

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