随机过程 4 -随机过程的频域分析2 - 谱表示

Posted 2021-12-29 Ciaran-byte

随机过程的频域分析

文章目录

• 随机过程的频域分析
• • 1. 谱表示的定义
  • 2. 谱表示的性质
  • • 2.1 概述
    • 2.2 正交增量特性
    • • 2.3.1 正交增量过程的定义
      • 2.3.2 正交增量特性的解读
    • 2.3 谱表示与功率谱
  • 3. 谱表示与线性系统响应
  • 4. 谱表示与宽平稳随机过程
  • • 4.1 宽平稳随机过程与复指函数的等距同构
    • 4.2 等距同构的应用--采样定理

1. 谱表示的定义

  对随机过程做傅里叶分析的困难在于，随机过程一般不是绝对可积的，积分不收敛就没有办法做傅里叶变换。

  如果随机过程能够做傅里叶变换的话，应该是写成这样的

$$Z(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }Z(\omega )exp(j\omega t)d\omega$$

  我们之前采取的方案是，采用二阶矩的方法定义谱，基于相关函数是收敛的角度，找到了功率谱，进行随机过程谱的表示，这是一种物理上的方法

  现在，我们用一种更为数学的方法进行描述。因为积分存在不收敛的情况，我们就用原函数的形式表示频谱。这样的话，不收敛的地方，其实就是频率的不可微的点。通过找原函数的形式，我们能够避免求积分不收敛的问题。

$$F(\omega )=\int Z(\omega )d\omega$$

  因此，我们就可以用Stieltjes integral的形式，重新表示随机过程

$$\begin{gathered} \text{Stieltjes integral} \\ Z(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }exp(j\omega t)dF(\omega ) \end{gathered}$$

  我们之前介绍的功率谱，是从二阶量的角度去描述随机过程的谱，现在，我们使用谱表示，能够基于一阶的形式去描述随机过程的谱了

  在这里面F(ω)也是一个随机过程，叫做谱过程，因为是以频率为标记的一个随机过程。因此dF(ω)实际上是有随机性的。

2. 谱表示的性质

2.1 概述

  谱表示是一个正交增量过程，具有这样的性质

$$\begin{gathered} (1)\omega \cancel{=}{\omega }^{\prime }\Rightarrow E(d{F}_Z(\omega )\overline{dF(\omega )})=0 \\ (2)\omega ={\omega }^{\prime }\Rightarrow E(d{F}_Z(\omega )\overline{dF(\omega )})=E|d{F}_Z(\omega ){|}^2=S_Z(\omega )d\omega \end{gathered}$$

  下面会针对这两点进行证明

2.2 正交增量特性

2.3.1 正交增量过程的定义

$$\text{orthogonal Increment}$$

  第一个叫做正交增量特性。所谓正交增量特性就是，如果函数F具有正交增量特性，那么顺序取四个点ω₁,ω₂,ω₃,ω₄,任意两点之间能够构成一个增量，只要这些增量是不重叠的，这些增量彼此就是正交的。

$$\begin{gathered} F(\omega )\Rightarrow \forall {\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4 \\ (F({\omega }_2)-F({\omega }_1))\perp (F({\omega }_4)-F({\omega }_3)) \end{gathered}$$

  所谓正交，就是内积为0，而对于随机过程的内积，就是相关。因此，如果随机过程的增量是不相关的，那么这就是一个正交增量过程

$$\omega \cancel{=}{\omega }^{\prime }\Rightarrow E(d{F}_Z(\omega )\overline{dF(\omega )})=0$$

  而我们的谱过程，就是一个正交增量，过程，因此，会得到我们上面的结论

2.3.2 正交增量特性的解读

  这里我们想对这个谱过程的正交性进行一些解读。

  我们把谱表示与周期函数的傅里叶展开进行对比

$$\begin{gathered} Z(t)=Z(t+T) \\ Z(t)=\sum _{-\infty }^{+\infty }{\alpha }_{k}exp(j{\omega }_{k}t) \\ {a}_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}Z(t)exp(-j{\omega }_{k}t)dt \end{gathered}$$

  谱表示
$$Z(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }exp(j\omega t)dF(\omega )$$

  我们发现谱表示和傅里叶级数展示是非常相似的，傅里叶级数展开使用求和的方法，对正交基进行展开。而谱表示是使用积分的方式，对正交基进行展开。谱过程对应的位置，实际上就是傅里叶级数展开时候的系数α。

  我们其实可以证明，这个系数α也是具有正交性的

  随机变量的正交，就是求相关。也就是证明

$$E({\alpha }_k\overline{{\alpha }_m})=0k\cancel{=}m$$

  计算一下这个相关

E ( α k α m ‾ ) = E ( 1 T ∫ − T 2 + T 2 Z ( t ) e x p ( − j ω k t ) d t 1 T ∫ −

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