凸优化——一些重要的凸集

Posted 2021-12-29 码丽莲梦露

本节将描述一些重要的凸集：

（1）空集、任意一个点（即单点集）、全空间都是的仿射（自然也是凸的）子集。

（2）任意直线是仿射的。如果通过零点，则是子空间，因此，也是凸锥。

（3）一条线段是凸的，但不是仿射（除非退化为一个点）。

（4）一条射线，即的集合，是凸的，但不是仿射的，如果射线的基点是0.则它是凸锥。

目录

1 超平面和半空间

 2 Euclid球和椭球

3 范数球或范数锥 

 4 多面体

5 单纯形

5.1 多面体的凸包

6 半正定锥

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1 超平面和半空间

        超平面是具有下面形式的集合：

其中且

         解析地，超平面是关于x的非平凡线性方程的解空间（因此是一个仿射集合）。

        几何上，超平面可以解释为与给定向量a的内积为常数的点集合；也可以看成法线方向为a的超平面，常数决定了这个平面从原点的偏移。

        一个超平面将划分为两个半空间。半空间是具有下列形式的集合：

         半空间是凸的，但不是仿射的。

 2 Euclid球和椭球

        中的空间Euclid球（或简称为球）具有下面的形式：

or:

其中r>0,表示Euclid范数。是球心，标量r为半径。

        Euclid球是凸集。证明如下：

如果,并且,那么：

                                                   

        相关的凸集：椭球，具有形式如下：

其中，，即P是对称正定矩阵，为椭球中心，P决定了椭球从向各个方向扩展的幅度。

另一个常有的形式为：

其中A是非奇异的方阵，但当A为奇异时，称为退化的椭球，仿射维数为A的秩，退化的椭球也是凸的。

3 范数球或范数锥 

        范数锥形式如下,也是一个凸锥：

例：二阶锥是由Euclid范数定义的范数锥，即

二阶锥也被称为二次锥，Lorentz锥或冰激凌锥。

 4 多面体

        多面体被定义为有限个线性等式和不等式的解集，即有限个半平面和超平面的交集

显而易见，多面体是凸集，有界的多面体有时也被称为多胞形。

 例：非负象线是具有非负分量的点的集合，也是多面体锥。

5 单纯形

        单纯形是一类重要的多面体。设k+1个点仿射独立，即线性独立，那么这些点就决定了一个单纯形：

        这个单纯性的仿射维数为k,因此也称为空间的k维单纯形。

一些常见单纯形：

（1）一维单纯形是一条线段

（2）二位单纯形是三角形

（3）三维单纯形是一个四面体

5.1 多面体的凸包

        有限集合的凸包是：

它是一个有界的多面体，但是(除非是例如单纯形这样的特殊情况）无法用线性等式或不等式集合将其表示。

        凸包表达式的一个扩展表示是：

        其中.此处考虑的非线性组合。

6 半正定锥

        集合是一个凸锥：如果并且,那么，,证明: