《基础微积分教材中译版》--11.3偏导数

Posted 2021-12-28 yuanmeng001

    ​    ​偏导数是用来研究两个或两个以上变量的函数的变化率的量。一般来说，z=f(x,y)的变化率取决于x的变化率和y的变化率。偏导数处理的是只有一个自变量在变化，而另一个保持不变的最简单的情况。

    ​    ​给定一个函数z=f(x,y)如果我们将y的值固定为某个常数b，就得到了关于x的函数 g(x)=f(x,b)

几何上，曲线z=g(x)是曲面z=f(x,y)与垂直面y=b的交点。保持y不变时，z关于x的变化率就是曲线z=g(x)的斜率。这个斜率称为f(x,y)关于x的偏导数。类似的，还存在关于y的偏导数

    ​下面给出更精确的定义。

    ​定义

    ​f(x,y)在(a,b)处的偏导数是极限 𝑓𝑥(𝑎,𝑏)=lim∆𝑥→0𝑓(𝑎+∆𝑥,𝑏)−𝑓(𝑎,𝑏)∆𝑥 𝑓𝑦(𝑎,𝑏)=lim∆𝑦→0𝑓(𝑎,𝑏+∆𝑦)−𝑓(𝑎,𝑏)∆𝑦

当极限不存在时，偏导数没有意义

当𝑓𝑥(𝑎,𝑏)存在时，对任何非零无穷小∆x，都与标准部分等价： 𝑓𝑥(𝑎,𝑏)=st(𝑓(𝑎+∆𝑥,𝑏)−𝑓(𝑎,𝑏)∆𝑥)

同样，当𝑓𝑦(𝑎,𝑏)存在时，对任何非零无穷小∆y，都有

𝑓𝑦(𝑎,𝑏)=st(𝑓(𝑎,𝑏+∆𝑦)−𝑓(𝑎,𝑏)∆𝑦)

单变量导数𝑓′(𝑥)是x的函数。类似的，偏导数𝑓𝑥(𝑥,𝑦)和𝑓𝑦(𝑥,𝑦)分别是关于x和y的函数。在每一个点(x,y)，偏导数𝑓𝑥(𝑥,𝑦)或是只有一个值，或是没有意义。

另一种表示偏导数的符号是D的小写西里尔字母（一种希腊字母）,∂，称为“圆体D”。若z=f(x,y)，记:

𝜕𝑧𝜕𝑥(𝑥,𝑦)，𝜕𝑧𝜕𝑥，或𝜕𝑓𝜕𝑥 来表示𝑓𝑥(𝑥,𝑦)

𝜕𝑧𝜕𝑦(𝑥,𝑦)，𝜕𝑧𝜕𝑦，或𝜕𝑓𝜕𝑦 来表示𝑓𝑦(𝑥,𝑦)

和普通导数一样，偏导数也可以表示为无穷小的商

在𝜕𝑧𝜕𝑥中，∂x表示∆x，∂z表示𝑓𝑥(𝑥,𝑦)∆x

在𝜕𝑧𝜕𝑦中，∂y表示∆y，∂z表示𝑓𝑦(𝑥,𝑦)∆y

请注意，∂z在𝜕𝑧𝜕𝑥中的含义与在𝜕𝑧𝜕𝑦中的含义不同。出于这个原因，我们将避免单独使用符号∂z。

偏导数很容易通过一些基本的微分规则计算得到，除一个变量外，所有的变量都被视为常数。

例1 求函数f(x,y)=𝑥2+3𝑥𝑦−8𝑦在点(2,−1)的偏导数

为了求𝑓𝑥(𝑥,𝑦)，把y看成常数， 𝑓𝑥(𝑥,𝑦)=2𝑥+3𝑦

为了求𝑓𝑦(𝑥,𝑦)，把x当作常数， 𝑓𝑦(𝑥,𝑦)=3𝑥−8

故：

𝑓𝑥(2,−1)=2∙2+3(−1)=1，𝑓𝑦(2,−1)=3∙2−8=−2

例2 点P(x,y)到原点的距离为z=√𝑥2+𝑦2。分别求在下列情况下，z在点P(3,4)处的变化率:

(a) P沿着x方向以单位速度移动。

(b) p沿着y方向以单位速度移动。

在该问题中，用圆体d表示比较方便。

(a) 𝜕𝑧𝜕𝑥(𝑥,𝑦)=𝑥√𝑥2+𝑦2,

𝜕𝑧𝜕𝑥(3,4)=3√32+42=35

(b) 𝜕𝑧𝜕𝑦(𝑥,𝑦)=𝑦√𝑥2+𝑦2,

𝜕𝑧𝜕𝑦(3,4)=4√32+42=45

有三个或三个以上变量的函数难以用图形表示。然而，可以用其他物理解释来说明这些函数。例如，w=f(𝑥,𝑦)可以用来刻画(𝑥,𝑦,𝑤)空间中的运动曲面，其中t是时间。除此之外，W=f(𝑥,𝑦,𝑧)可以认为是为其定义的(𝑥,𝑣,𝑧)空间中的每一点分配一个值;例如，w可以是一个三维物体在(𝑥,𝑦,𝑧)点的密度。

有三个或三个以上变量的函数的偏导数定义与两个变量函数的定义方法相似。

定义

f(𝑥,𝑦,𝑧)在点(𝑎,𝑏,𝑐)的偏导数是极限 𝑓𝑥(𝑎,𝑏,𝑐)=lim∆𝑥→0𝑓(𝑎+∆𝑥,𝑏,𝑐)−𝑓(𝑎,𝑏,𝑐)∆𝑥 𝑓𝑦(𝑎,𝑏,𝑐)=lim∆𝑦→0𝑓(𝑎,𝑏+∆𝑦,𝑐)−𝑓(𝑎,𝑏,𝑐)∆𝑦 𝑓𝑧(𝑎,𝑏,𝑐)=lim∆𝑧→0𝑓(𝑎,𝑏,𝑐+∆𝑧)−𝑓(𝑎,𝑏,𝑐)∆𝑧

如果极限不存在，偏导数没有意义。

当𝑓𝑥(𝑎,𝑏,𝑐)存在时，对任何非零无穷小∆x,都有： 𝑓𝑥(𝑎,𝑏,𝑐)=st(𝑓(𝑎+∆𝑥,𝑏,𝑐)−𝑓(𝑎,𝑏,𝑐)∆𝑥)

因此 , 𝑓𝑥(𝑎,𝑏,𝑐)是当y和z保持不变时f(𝑥,𝑦,𝑧)对x的变化率。

在这里，我们同样给出圆体d形式的记号。如果w=f(𝑥,𝑦,𝑧)，我们使用:

𝜕𝑤𝜕𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)，𝜕𝑤𝜕𝑥，或𝜕𝑓𝜕𝑥 来表示𝑓𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)

𝜕𝑤𝜕𝑦(𝑥,𝑦,𝑧)，𝜕𝑤𝜕𝑦，或𝜕𝑓𝜕𝑦 来表示𝑓𝑦(𝑥,𝑦,𝑧)

𝜕𝑤𝜕𝑧(𝑥,𝑦,𝑧)，𝜕𝑤𝜕𝑧，或𝜕𝑓𝜕𝑧 来表示𝑓𝑧(𝑥,𝑦,𝑧)

例3 求函数f(𝑥,𝑦,𝑧)=sin(𝑥2𝑦−𝑧)在点(1,0,0)处的偏导数。

为了计算𝑓𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)，将y和z视为常量。 𝑓𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)=2𝑥𝑦cos(𝑥2𝑦−𝑧) 𝑓𝑦(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥2cos(𝑥2𝑦−𝑧) 𝑓𝑧(𝑥,𝑦,𝑧)=−cos(𝑥2𝑦−𝑧)

因此， 𝑓𝑥(1,0,0)=2∙1∙0cos(120−0)=0 𝑓𝑦(1,0,0)=12cos(120−0)=1 𝑓𝑧(1,0,0)=−cos(120−0)=−1

翻译：向君瑶