《算法零基础100讲》(第44讲) 位运算 (位或) 入门

Posted 2021-12-28 英雄哪里出来

文章目录

• 零、写在前面
• 一、概念定义
• • 1、位或的定义
  • 2、位或运算符的简单应用
  • • 1）设置标记位
    • 2）置空标记位
• 二、题目描述
• 三、算法详解
• 四、源码剖析
• 五、推荐专栏
• 六、习题练习

零、写在前面

  这是《算法零基础100讲》 专栏打卡学习的第四十四天了。
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一、概念定义

1、位或的定义

  位或运算符是一个二元的位运算符，也就是有两个操作数，表示为x | y。
  位或运算会对操作数的每一位按照如下表格进行运算，对于每一位只有 0 或 1 两种情况，所以组合出来总共 $2^2=4$ 种情况。

左操作数	右操作数	结果
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

  通过这个表，我们得出一些结论：
  1）无论是 0 或 1，只要位或上 1，就变成1；
  2）只有当两个操作数都是0的时候，才变成 0；

#include <stdio.h>
int main() 
    int a = 0b1010;           // (1)
    int b = 0b0110;           // (2)
    printf("%d\\n", (a | b) ); // (3)
    return 0;

• $(1)$ 在C语言中，以0b作为前缀，表示这是一个二进制数。那么a的实际值就是 $(1010{)}_2$。
• $(2)$ 同样的，b的实际值就是$(0110{)}_2$；
• $(3)$ 那么这里a | b就是对$(1010{)}_2$ 和 $(0110{)}_2$ 的每一位做表格中的|运算。

  所以最后输出结果为：14
  因为输出的是十进制数，它的二进制表示为： $(1110{)}_2$。

2、位或运算符的简单应用

1）设置标记位

【例题1】给定一个数，判断它二进制低位的第 5 位，如果为 0，则将它置为 1。

  这个问题，我们很容易联想到位或。
  我们分析一下题目意思，如果第 5 位为 1，不用进行任何操作；如果第 5 位为 0，则置为 1。言下之意，无论第五位是什么，我们都直接置为 1即可，代码如下：

#include <stdio.h>
int main() 
    int x;
    scanf("%d", &x);
    printf("%d\\n", x | 0b10000); 
    return 0;

2）置空标记位

【例题2】给定一个数，判断它二进制低位的第 5 位，如果为 1，则将它置为 0。

  这个问题，我们在学过 《算法零基础100讲》(第42讲) 位运算 (位与) 入门 以后，很容易得出这样一种做法：

#include <stdio.h>
int main() 
    int x;
    scanf("%d", &x);
    printf("%d\\n", x & 0b11111111111111111111111111101111); 
    return 0;

  其它位不能变，所以位与上1；第5位要置零，所以位与上0；
  这样写有个问题，就是这串数字太长了，一点都不美观，而且容易写错，当然我们也可以转换成 十六进制，转换的过程也有可能出错。
  而我们利用位或，只能将第5位设置成1，怎么把它设置成0呢？

我们可以配合减法来用。分成以下两步：
  1）首先，强行将低位的第5位置成1；
  2）然后，强行将低位的第5位去掉；

  第 $(1)$ 步可以采用位或运算，而第 $(2)$ 步，我们可以直接用减法即可。代码实现如下：

#include <stdio.h>
int main() 
    int x;
    int a = 0b10000; 
    scanf("%d", &x);
    printf("%d\\n", (x | a) - a ); 
    return 0;

  注意：直接减是不行的，因为我们首先要保证那一位为 1，否则贸然减会产生借位，和题意不符。

二、题目描述

给定一个整数 $x$，将它低位连续的 0 都变成 1。

三、算法详解

  假设这个整数低位连续有 $k$ 个零，二进制表示如下：$$...1\underset{\mathrm{k}}{\underbrace{00...00}}$$   那么，如果我们对它进行减一操作，得到的二进制数就是：$$...0\underset{\mathrm{k}}{\underbrace{11...11}}$$ 我们发现，只要对这两个数进行位或，就能得到：$$...1\underset{\mathrm{k}}{\underbrace{11...11}}$$ 也正是题目所求。

四、源码剖析

int change(int x) 
	return x | (x-1);

五、推荐专栏

🌌《算法零基础100讲》🌌
(第1讲) 幂和对数

六、习题练习

序号	题目链接	难度
1	根据数字二进制下 1 的数目排序	★☆☆☆☆
2	二进制表示中质数个计算置位	★☆☆☆☆
3	2 的幂	★☆☆☆☆
4	统计按位或能得到最大值的子集数目	★★★☆☆