离散：常用排列组合模型归纳，DFS代码实现

Posted 2021-12-28 --believe

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了离散：常用排列组合模型归纳，DFS代码实现相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

一、排列

1.定义

n个元素的集合A中任意选择r个（ $n\\leq r$ ）进行排列称为A的一个r-排列/r-Permutation

n个元素的集合A的r-排列数为
$p (n, r) = n (n - 1) . . . 1 = n! / (n - r)!$

2.理解

将n个元素选择r个元素出来（无顺序），然后进行全排列（有顺序）。

二、组合

1.定义

n个元素的集合A中任意选择r个（ $n\\leq r$ ）称为A的一个r-组合/r-Combination

n个元素的集合A的r-组合数为

$C (n, r) = n (n - 1) . . . 1 / r! = n! / r! (n - r)!$

推论：

$C (n, r) = C (n, n - r)$

2.理解

将n个元素选择r个元素出来（无顺序)。$ C(n,r）=P(n,r)/r!$表示在排列的基础上除以r的全排列（相当于去掉顺序）

三、排列组合常见模型

1.r-可重排列

1.1.定义

n个不同元素的集合A，每个元素都可以重复选取，然后进行排列。

定理1：

n个不同元素的集合A，选取r个元素，可重排列的选择总数有**$n^r $**

1.2.理解

可重排列顾名思义，从大集合中选择的时候可以重复选取，然后再进行排列。

1.3.例题

输入的字母，输出所有的可重排序方式（每个字母可以重复）

示例

input:['a','b']
output:aa ab bb ba

代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
vector<char> res(3);//排列结果
//深度优先搜索方法进行可重排列
void dfs(const vector<char>& chars,int i) 
	if (i == chars.size()) 
		//打印输出chars
		for (char c : res) 
			cout << c;
		
		cout << endl;
		return;
	
	for (char c : chars) 
		res[i] = c;
		dfs(chars,i + 1);
	

void permutation(vector<char>& chars) 
	dfs(chars,0);
;
int main() 
	vector<char> chars 'a','b','c' ;//待排列的字母
	permutation(chars);
	return 0;

运行结果

2. r-可重组合

2.1.定义

n个不同元素的集合A，每个元素都可以重复选取，然后进行组合。

例：从包含1美元、2美元、5美元、10美元、20美元、 50美元及100美元的钱袋中选5张纸币，有多少种方式？假定不管纸币被选的次序，同币值的纸币不加区别，且至少每种纸币有5张。

解：7种纸币相当于7个房间，将5张纸币放入7个房间中，每个房间最多5张纸币。可以抽象成6个隔板（7个房间相当于6个隔板）与5张纸币进行组合。

$C (5 + 7 - 1, 5) = 11! / 6! 5!$

2.2.理解

可重组合表示从不同类别中选取，每个类别可以重复选取。用隔板法来比较好理解。

3. n-限重排列

3.1.定义

n个元素进行全排列，但是要去除相同元素的顺序问题。

例 SUCCESS中有7个字符，4个不同的字符，S重数为3，C重数为2，E重数为1，U重数为1，它的7-限重排列数是多少？

$C (7, 3) C (4, 2) C (2, 1) C (1, 1) = 7! / (3! 2! 1! 1!)$

3.2.理解

限重排列就是在全排列的基础上去除部分元素的顺序问题。注意和可重排列区分，可重排列是每个元素都可以重复，并且要考虑顺序。

4. r循环排列

4.1.定义

n个元素进行全排列，但是要形成一个首尾相连的环。

n个元素的集合A的r循环排列数为P(n,r)/r

4.2.理解

为什么要除以r因为形成环之后，第一位不会对排列数做贡献，参与排列每个元素都可以做第一个，所以要除以r.

四、代码生成排列和组合

1.排列

1.1可重排列（见三 1.3.例题 )

1.2全排列

代码

class Permutation

public:
	Permutation(string base):base(base) 
	
	void printPermutation(int index=0) 
		if (index == base.length()) 
			cout << base << endl;
		
		//每个位置都轮流选以index为起点的字母（保证了每个字母只选一次）
		for (int i = index; i < base.length(); i++)
		
			//正在安排字符串的位置 交换为i位置的字符
			if (i != index) 
				swap(base[i],base[index]);
			
			printPermutation(index + 1);//去安排字符串下一个位置的字母
			//还原交换的字母，便于下次排列
			if (i != index) 
				swap(base[i], base[index]);
			
		
	
private:
	string base;//待排序的字母
	
;

运行结果