Halo：incremental verification + SNARKs without pairings
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Halo：incremental verification + SNARKs without pairings相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1. 引言
ZK-SNARKs通常需要验证等式是否成立。可将等式中的elements 数学抽象为 多项式 或 R1CS矩阵和向量，这种数学抽象可承载大量数据。
当前支撑以上数学抽象的密码学技术主要分为3大类：
- 1）Merkle trees：用于 FRI。对应为STARKs。
- 2）regular elliptic curves：用于 inner product arguments (IPAs)。对应为Bulletproofs。
- 3）elliptic curves with pairings and trusted setups：用于 KZG commitments。对应为“regular” SNARKs。
这3种技术的对比为：
| Technology | 基于的密码学假设 | Proof size | Verification time |
|---|---|---|---|
| FRI | Hashes only（quantum safe!） | Large（10-200kB） | Medium（poly-logarithmic） |
| Inner product arguments (IPAs) | Basic elliptic curves | Medium (1-3 kB) | Very high (linear) |
| KZG commitments | Elliptic curves + pairings + trusted setup | Short (~500 bytes) | Low (constant) |
| IPA + Halo-style aggregation | Basic elliptic curves | Medium (1-3 kB) | Medium (constant but higher than KZG) |
第一种和第三种技术最受关注。第二种技术（IPAs）具有linear verification time，即意味着：
尽管proof size小，但是verify proof所需的时间几乎总要 长于 自己直接运行计算的时间。
这就使得IPAs不适于用于扩容相关的ZK-SNARK场景：
没必要使用IPA-based argument来证明以太坊某一区块的有效性，因为verify proof所需时间 要长于 直接验证该block所需时间。
而KZG-based argument和FRI-based argument，其proof verify时间 要远远快于 自己直接运行计算所需的时间。
但是，最近的一些研究，支持将多个IPA proof合并为一个IPA proof。详细可看：
将多个IPA proof合并为一个IPA proof的合并技术是cheap的，而对合并后的IPA proof验证的时间 与 验证其中某一IPA proof所需的时间 相当。
这就使得，可将：
- 验证a size- n n n computation proof所需的时间为 O ( n ) O(n) O(n)
转为：
- 将size- n n n的computation 切分为更小的 size- k k k steps，为每个step生成一个proof，一共生成 n k \\fracnk kn个proof，将这些proof 合并为一个proof，验证 合并后的proof 时间为 a little more than O ( k ) O(k) O(k)。
这种合并技术还可用于incremental verification：
- 若持续有待证明的新事物，则可利用 现有proof + 新statement的proof，得到 a proof of the new combined statement。
incremental verification可用于验证完整性——如整个区块链的完整性。
2. Inner product argument
Inner product argument基础知识可参看：
IPA不需要pairing运算，可使用任意椭圆曲线，哪怕是比特币和以太坊使用的secp256k1曲线，但是，为了可使用FFT加速，通常会选择具有FFT friendly order的曲线，详细可看：
根据Bulletproofs: Short Proofs for Confidential Transactions and More学习笔记第3节可知，Inner product argument针对的场景经历了如下衍化：
-
1）Bootle 2016方案中的基本信息表达为：
- public info： z ∈ Z p , A , B ∈ G , g ⃗ , h ⃗ ∈ G n z\\in\\mathbbZ_p,A,B\\in\\mathbbG,\\vecg,\\vech\\in\\mathbbG^n z∈Zp,A,B∈G,g,h∈Gn
- private info： a ⃗ , b ⃗ \\veca,\\vecb a,b
- relation： A = g ⃗ a ⃗ ∧ B = h ⃗ b ⃗ ∧ a ⃗ ⋅ b ⃗ = z A=\\vecg^\\veca\\wedge B=\\vech^\\vecb\\wedge \\veca\\cdot\\vecb=z A=ga∧B=hb∧a⋅b=z
-
2）Bulletproofs论文中对待证明relation的修改，使得communication complexity 由 6 log 2 ( n ) 6\\log_2 (n) 6log2(n)降为了 2 log 2 ( n ) 2\\log_2(n) 2log2(n)。（注意此处的inner product为sound的，但不是zero-knowledge的）
基本信息表达为：- public info： c ∈ Z p , P ∈ G , g ⃗ , h ⃗ ∈ G n c\\in\\mathbbZ_p,P\\in\\mathbbG,\\vecg,\\vech\\in\\mathbbG^n c∈Zp,P∈G,g,h∈Gn
- private info： a ⃗ , b ⃗ \\veca,\\vecb a,b
- relation： P = g ⃗ a ⃗ h ⃗ b ⃗ ∧ a ⃗ ⋅ b ⃗ = c P=\\vecg^\\veca\\vech^\\vecb\\wedge \\veca\\cdot\\vecb=c P=gahb∧a⋅b=c
进一步等价表达为：
- public info： u , P ∈ G , g ⃗ , h ⃗ ∈ G n u,P\\in\\mathbbG,\\vecg,\\vech\\in\\mathbbG^n u,P∈G,g,h∈Gn
- private info： a ⃗ , b ⃗ \\veca,\\vecb a,b
- relation： P = g ⃗ a ⃗ h ⃗ b ⃗ ⋅ u < a ⃗ ⋅ b ⃗ > P=\\vecg^\\veca\\vech^\\vecb\\cdot u^<\\veca\\cdot\\vecb> P=gah