2021 ICPC沈阳 L.Perfect Matchings（树形dp+容斥原理）

Posted 2021-12-28 lwz_159

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了2021 ICPC沈阳 L.Perfect Matchings（树形dp+容斥原理）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

题目描述

题目链接

题目大意

给你一个2n个点的完全图，从这个图里面删除2n−1条边，这些边形成一颗树，问剩下的图里面点进行完美匹配有多少种方案？

题目分析

$本题我们要对一个完全图选匹配边，而有一些边不能选择（ 2 n - 1 条边），我们可以先算出包含这 2 n - 1 条边$ $的所有方案，然后再用总的方案数减去这些方案就行了。$

$然后我们要求出包含树边的所有匹配方案，这个可以用树形 d p 来求：$

$状态表示：设 f [u] [i] [0 / 1] 表示以点 u 为根节点的子树中，有 i 个匹配，并且 u 节点是否参与匹配的方案数$

$状态转移：对于一个以 u 为根的节点，枚举其每个子节点 v$
$此时有三种情况：$

$1 、合并 u 与其子树 v ，并且不选 u ， f [u] [i + j] [0] + = f [u] [i] [0] * (f [v] [j] [0] + f [v] [j] [1]) （选不选 v 对于该状态$ $没有影响）$

$2 、合并 u 与其子树 v ，选 u ， f [u] [i + j] [1] + = f [u] [i] [1] * (f [v] [j] [0] + f [v] [j] [1])$

$3 、合并 u 与其子树 v ，并且加上一个 u - v 的匹配， f [u] [i + j + 1] [1] + = f [u] [i] [0] * f [v] [j] [0] （因为要加一个 u - v 的新匹配，$ $所以转移前的状态一定都是不带根节点的）$

$计算出所有的状态之后，再回来看怎么求出最终结果：$

$对于整个图来说，假设我们一定会选择 x 条树边，那么方案数就为 f [1] [x] [0] + f [1] [x] [1] ，而其余的边$ $随便选，那么就有可能选到 x ， x + 1 ， x + 2 ， \dots \dots 条树边。$
$因为会出现这种选多了的情况，因此我们在求包含树边的情况时，就需要用到容斥原理。$

$我们先将求解过程进行拆分，枚举 0 - n ，表示当前选择至少存在 i 条树边，方案数为 x = f [1] [i] [0] + f [1] [i] [1] 。$ $这样就匹配了 2 * i 个点，同时剩下了 2 * n - 2 * i 个点任意选择，则有 y 钟方案数。当前情况的答案即为： x * y 。$

$补：y=\\fracC^n-i_2n-2i*(n-i)!2^n-k$