12月学习进度2/31—算法竞赛打卡赶牛入圈

Posted 2021-12-28 fu_GAGA

赶牛入圈

农夫约翰希望为他的奶牛们建立一个畜栏。
这些挑剔的畜生要求畜栏必须是正方形的，而且至少要包含C单位的三叶草，来当做它们的下午茶。
畜栏的边缘必须与 X，Y轴平行。
约翰的土地里一共包含 N单位的三叶草，每单位三叶草位于一个 1×1 的土地区域内，区域位置由其左下角坐标表示，并且区域左下角的 X,Y 坐标都为整数，范围在 1 到 10000以内。
多个单位的三叶草可能会位于同一个 1×1的区域内，因为这个原因，在接下来的输入中，同一个区域坐标可能出现多次。
只有一个区域完全位于修好的畜栏之中，才认为这个区域内的三叶草在畜栏之中。
请你帮约翰计算一下，能包含至少 C单位面积三叶草的情况下，畜栏的最小边长是多少。

输入格式

第一行输入两个整数 C和 N。
接下来 N行，每行输入两个整数 X 和 Y，代表三叶草所在的区域的 X,Y坐标。
同一行数据用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，代表畜栏的最小边长。

数据范围

1≤C≤500,
C≤N≤500

输入样例：

3 4
1 2
2 1
4 1
5 2

输出样例：

4

主要思路

知识点

1. 二分： 找最小边长（最优化问题）
2. 二维前缀和： O(1)复杂度求解 子矩阵的和
3. 离散化： 降低空间复杂度（排序去重 + 二分查找函数）

注意细节

1. 三叶草位于1x1区域内，而不是顶点上，计算边长时要加一（如下图所示）
2. 计算两者距离时，用原数numbers[x1]，numbers[x2]，而不是离散化后的坐标x1，x2

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1010;

int n, C;
int sum[N][N];//前缀和
PII points[N];//点
vector<int> numbers;//离散化后的数（有序、无重）

int get(int x)

    //查找函数实现离散化：x查找到的下标就是离散化的值
    int l = 0, r = numbers.size()-1;
    while(l < r)
    
        int mid = l + r >> 1;
        if(numbers[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    
    return r;


bool check(int len)

    //枚举(x1,y1),(x2,y2)顶点 不包括(x1,y1)点
    //注意距离要用原数计算numbers[x2]-numbers[x1],而不是x2-x1
    for(int x1 = 0, x2 = 1; x2 < numbers.size(); x2 ++ )
    
        //对于每个x2，找正好等于len的x1
        while(numbers[x2] - numbers[x1+1] + 1 > len) x1 ++ ;
        //不是一个点 而是以该点代表左下角的小格
        //所以x2和x1之间的距离要多加1
        for(int y1 = 0, y2 = 1; y2 < numbers.size() ; y2 ++ )
        
            while(numbers[y2] - numbers[y1+1] + 1 > len) y1 ++ ;
            if(sum[x2][y2] - sum[x1][y2] - sum[x2][y1] + sum[x1][y1] >= C) 
                return true;
        
    
    return false;


int main()

    cin >> C >> n;
    numbers.push_back(0);
    //先放入0，是为了计算前缀和从下标1开始
    for(int i = 0;i < n;i ++ )
    
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        points[i] = x, y;
        numbers.push_back(x);
        numbers.push_back(y);
    
    
    sort(numbers.begin(),numbers.end());//排序
    numbers.erase(unique(numbers.begin(),numbers.end()),numbers.end());
    //实现numbers中的去重
    //erase(迭代器1，迭代器2)，删去两个迭代器之间的数
    //unique(迭代器1，迭代器2),把两个迭代器之间的相同元素放到最后，返回最后一个不相同元素位置的迭代器
    
    for(int i = 0;i < n;i ++ )
    
        int x = get(points[i].first), y = get(points[i].second);
        sum[x][y] ++ ;
    //离散化  统计位置上的三叶草数量
    
    //计算前缀和
    //利用离散化后的下标计算  1~numbers.size()-1
    for(int i = 1;i < numbers.size();i ++ )
        for(int j = 1;j < numbers.size(); j ++ )
            sum[i][j] += sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1];
            
    int l = 1, r = 10000;
    while(l < r)
    
        int mid = l + r >> 1;
        if(check(mid)) r = mid;//存在边长为mid的解决方案
        else l = mid + 1;
    
    
    cout << r << endl;
    
    return 0;