本福特定律和齐夫定律是一回事吗

Posted 2021-12-28 dog250

关于本福特定律的简单解释和推导，参见：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/440462854

思考本福特定律，与齐夫定律对照，它们之间似乎可以相互推导，是真的吗？

本福特定律说首数为$n$的概率：$P(n)={\log }_{10}\frac{n+1}{n}={\log }_{10}(n+1)-{\log }_{10}n$

写成连续的形式：$P(x)={\log }_{10}(x+1)-{\log }_{10}x$

从这个形式上看，它是一个定积分${\int }_x^{x+1}\frac{{\log }_{10}e}{n}dn$ 。设不定积分式为$F(x)$，则：

$F(x)=\int \frac{{\log }_{10}e}{x}dx$

积分$F(x)$实际上就是所有首数字概率的积累分布函数，其概率密度函数为一个反比例函数：

$f(x)=\frac{{\log }_{10}e}{x}$

从本福特定律的概念上讲，首数字为$n$的概率可以写成两种形式：

• 定积分的形式：$P_{int}(n)=F(x){|}_n^{n+1}$
• 概率密度的形式：$P_{prob}(n)=f(n)$

连续化是为了拟合微积分计算，回到离散的形式：

$P_{prob}(n)=f(n)=\frac{{\log }_{10}e}{n}$

换一种写法：

$P_{prob}(n)\times n={\log }_{10}e$

这看起来符合齐夫定律。来看下是不是。

经过了连续～离散变换，连续情况下的反比例形式不能用于离散情况的计算，只能直观理解$P(n)\times n=常数C$。现在直接从本福特定律的结论入手，实际计算一下：

$P(n)\times n=n\times {\log }_{10}\frac{n+1}{n}={\log }_{10}(\frac{n+1}{n}{)}^n$

设：

$g(n)=(\frac{n+1}{n}{)}^n$

$g(n)$快速逼近$e$，但仅在$n$取1～9时，$g(x)$有意义，分别为：

$g(1)=2,g(2)=2.25,g(3)=2.37,g(4)=2.44,g(5)=2.48,g(6)=2.52,g(7)=2.54,g(8)=2.56,g(9)=2.58$

${\log }_{10}x$单调递增，计算${\log }_{10}g(1)$和${\log }_{10}g(9)$的值，分别为：

${\log }_{10}g(1)=0.301$
${\log }_{10}g(9)=0.411$

它们相差非常小，可近似为符合齐夫定律。

这是为什么？

通过上述推导，$P_{int}$和$P_{prob}$是可以相互转换的，只要可以将事情抽象成 P i n

以上是关于本福特定律和齐夫定律是一回事吗的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

本福特定律

齐普夫定律的起源

本福特定律(Benford‘s law)的直观解释

概率论杂记

墨菲定律的典故及详细内容

定律-墨菲定律：百科