本福特定律(Benford‘s law)的直观解释

Posted 2021-12-28 dog250

若待查自然数集是均匀分布的，可用$f(x)=10^x$表示：

• $x$在$[0,1)$区间，$f(x)$从1到10.
• $x$在$[1,2)$区间，$f(x)$从10到100.
• $x$在$[2,3)$区间，$f(x)$从100到1000.
• …

把$x$轴分成$[0,1)$，$[1,2)$，$[2,3)$，$[3,4)$，…等小区间，可将$f(x)$分为：

• 1位数字。
• 2位数字。
• 3位数字。
• …

其中$x$为整数时$f(x)$为进位边界，如果为小数则$fx)$为两个进位边界之间的普通数字。

首位数字$n$起头的数字包括：

• 1位数字$n$。
• 2位数字$n{m}_1$。
• 3位数字$n{m}_1{m}_2$。
• …

上述数字的量加起来，就是以$n$开头的数字总量 。

计算以$n$开头的数字出现的概率$P(n)$，要看$f(x)=10^x$中$x$的分布。计算方法如下图所示：

以$[2,3)$这个3位数区间为例，首数为$4$的有400，401…，499，$f(x)=10^x$单调递增，只需求出$400=10^{x_1}$，$499=10^{x_2}$中的$x_1$和$x_2$，首数$4$的概率为：

$\frac{{\log }_{10}(499+1)-{\log }_{10}400}{3-2}={\log }_{10}500-{\log }_{10}400={\log }_{10}\frac{5}{4}$

同理，对于所有小区间，首数$n$的概率分别为：

$X_{0,1}=\frac{{\log }_{10}(n+1)-{\log }_{10}n}{1-0}={\log }_{10}\frac{n+1}{n}$

$X_{1,2}=\frac{{\log }_{10}10\times (n+1)-{\log }_{10}10\times n}{2-1}={\log }_{10}\frac{n+1}{n}$

$X_{2,3}=\frac{{\log }_{10}100\times (n+1)-{\log }_{10}100\times n}{3-2}={\log }_{10}\frac{n+1}{n}$

…

整体上以数字$n$开头的概率为：

$P(n)=\frac{T=\sum 小区间的概率}{S=\sum 小区间长度}$

所有小区间以$n$开头的数字在小区间的概率和：

T = ∑ m = 0 ∞ ( log ⁡ 10 1 0

以上是关于本福特定律(Benford‘s law)的直观解释的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

程序验证本福特定律

本福特定律

康威定律（Conway’s law）

里特定律 - Little‘s Law

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