THUPC2023 初赛 背包

Posted 2023-03-12 nike0good

[THUPC 2023 初赛] 背包

题目描述

本题中，你需要解决完全背包问题。

有 $n$ 种物品，第 $i$ 种物品单个体积为 $v_i$、价值为 $c_i$。

$q$ 次询问，每次给出背包的容积 $V$，你需要选择若干个物品，每种物品可以选择任意多个（也可以不选），在选出物品的体积的和恰好为 $V$ 的前提下最大化选出物品的价值的和。你需要给出这个最大的价值和，或报告不存在体积和恰好为 $V$ 的方案。

为了体现你解决 NP-Hard 问题的能力，$V$ 会远大于 $v_i$，详见数据范围部分。

输入格式

第一行两个整数 $n,q$，表示物品种数和询问次数。

接下来 $n$ 行每行两个整数 $v_i,c_i$ 描述一种物品。

接下来 $q$ 行每行一个整数 $V$ 描述一次询问中背包的体积。

输出格式

对于每组询问输出一行一个整数。若不存在体积和恰好为 $V$ 的方案，输出 -1；否则输出最大的选出物品的价值和。

样例 #1

样例输入 #1

2 2
6 10
8 15
100000000001
100000000002

样例输出 #1

-1
187500000000

提示

样例解释 1

第二组询问的最优方案为：选择 $3$ 个物品 $1$ 和 $12499999998$ 个物品 $2$。

子任务

对于所有测试数据，$1\le n\le 50,1\le v_i\le 10^5,1\le c_i\le 10^6,1\le q\le 10^5,10^{11}\le V\le 10^{12}$。

题目来源

来自 2023 清华大学学生程序设计竞赛暨高校邀请赛（THUPC2023）初赛。

题解等资源可在 https://github.com/THUSAAC/THUPC2023-Pre 查看。

(from luogu)

考虑$c_p/v_p$ 最大的item$(v_p,c_p)$，最后的答案一定是尽量多取
当$i$足够大时，$f_{i+v_p}=f_i+c_p$
考虑同余最短路，模$v_p$
发现无法定义图中边的边权，最后会陷入无限负环，无法最短路。

令$f_i=g_{i\mathrm{mod}m}+\lfloor \frac{i}{v_p}\rfloor \ast c_p$
对于$g_i$求最短路
对于$f_i$取物品$(v_x,c_x)$并转移到$f_j$
等价于$f_{i+c_x}=g_{i\mathrm{mod}m}+\lfloor \frac{i}{v_p}\rfloor \ast c_p+c_x$
$=g_{i\mathrm{mod}m}+c_x+(\lfloor \frac{i}{v_p}\rfloor -\lfloor \frac{i+v_x}{v_p}\rfloor )c_p+\lfloor \frac{i+v_x}{v_p}\rfloor \ast c_p$

转移到$g_{j\mathrm{mod}m}+\lfloor \frac{j}{v_p}\rfloor \ast c_p$

#include<bits/stdc++.h> 
using 
以上是关于THUPC2023 初赛 背包的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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