C. DZY Loves Fibonacci Numbers(线段树&fibonacci)

Posted 2021-12-23 Harris-H

C. DZY Loves Fibonacci Numbers(线段树&fibonacci)

考虑$fibonacci$的几个性质：

• 两个的广义斐波那契数列和仍是广义斐波那契数列。
• 对于广义斐波那契数列：$g[a,b]$，$(a,b)$分别是第一项和第二项。有
  • $g_n=f_{n-2}\times a+f_{n-1}\times b$
  • $\sum _{i=1}^n{g}_i=g_{n+2}-g_2$

因此，每次区间加$[l,r]$操作，我们可以用线段树维护每段区间的$g_1,g_2,sum$ 分别是这段区间的广义$fib$第一项和第二项，与区间和。

对于合并子树操作就是：

$a[rt].s=a[lson].s+a[rson].s+\sum _{i=l}^r{g}_i$

令$len=r-l+1$

而$\sum _{i=l}^r=g_{len+2}-g_2=f[len]\times g_1+f[len+1]\times g_2$

所以可以$O(1)$ 合并。

至于下传影响:

左子树的$g_1,g_2$显然直接根据性质1直接加。

右子树类似地，加上对应的$g_{mid+1},g_{mid+2}$ $mid+1$也就是右子树的$L$左端点。

而$g_{mid+1}=f_{mid-1}\times g_1+f_{mid}\times g_2)$

$g_{mid+1}$ 同理。

	il void pd(int x)
		if(a[x].f1||a[x].f2)
			a[lx].f1+=a[x].f1,a[lx].f2+=a[x].f2;
			//加上 a[mid+1].val
			a[rx].f1+=a[x].f1*f[len(lx)-1]+a[x].f2*f[len(lx)];
			//加上 a[mid+2].val
			a[rx].f2+=a[x].f1*f[len(lx)]+a[x].f2*f[len(lx)+1];
			re(lx),re(rx);
			a[x].f1=a[x].f2=0;
		
	

时间复杂度：$O(mlogn)$

// Problem: C. DZY Loves Fibonacci Numbers
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #FF (Div. 1)
// URL: https://codeforces.com/problemset/problem/446/C
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 4000 ms
// Date: 2021-11-27 17:04:10
// --------by Herio--------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=3e5+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+9;
const int hashmod[4] = 402653189,805306457,1610612741,998244353;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<ll,ll>
#define x first
#define y second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr) 
void Print(int *a,int n)
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	printf("%d\\n",a[n]); 

template <typename T>		//x=max(x,y)  x=min(x,y)
void cmx(T &x,T y)
	if(x<y) x=y;

template <typename T>
void cmn(T &x,T y)
	if(x>y) x=y;

int n,m;
ll f[N];
void init()
	f[1]=f[2]=1;
	rep(i,3,n+1) f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod;

//区间修改 区间求和
#define il inline 
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define len(x) (a[x].r-a[x].l+1)
struct SegTree
	struct node
	int l,r;
	ll f1,f2;
	ll s;
	a[N<<4];
	il void re(int x)
		a[x].f1%=mod,a[x].f2%=mod;
		a[x].s=a[lx].s+a[rx].s+(a[x].f1*f[len(x)]+a[x].f2*以上是关于C. DZY Loves Fibonacci Numbers(线段树&fibonacci)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 [CodeForces - 447E] E - DZY Loves Fibonacci Numbers
 CF446C DZY Loves Fibonacci Numbers 线段树 + 数学
 Codeforces446C - DZY Loves Fibonacci Numbers
 题解 CF446C DZY Loves Fibonacci Numbers
 A. DZY Loves Chessboard
 DZY Loves Chemistry （并查集）