[303]. 区域和检索 - 数组不可变

Posted 2021-12-22 Debroon

区域和检索 - 数组不可变

• • 题目
  • 函数原型
  • 线段树（区间树）
  • SRQT 分解

 

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题目

题目：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-immutable/
 

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函数原型

class NumArray 
public:
    NumArray(vector<int>& nums) 
    int sumRange(int left, int right) 
;

 

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线段树（区间树）

线段树，专门用于处理区间数据，因此又名区间树。

为什么需要线段树，其实数组就可以各种区间操作，数组本身就是一个区间是吧。

因为线段树、动态线段树、数状数组、SQRT分解这些数据结构，都是专门用于解决区间操作的，如果是数组就需要遍历一次，整个区间的查询、整个区间的更新都是 $O(n)$，而线段树都是 $O(logn)$。

线段树解决的问题类型：

• 区间更新：更新区间中一个元素或一个区间的值
• 区间查询：查询区间中最大值、最小值、区间数字和

线段树，是如何用 $O(logn)$ 的时间达到的呢？

线段树，是用空间换时间、升维实现的。

每个节点存储的是一个区间内的信息：

相对于把时间预处理了，比如求区间 [5, 9] 的和，直接调用即可。

那如何求区间 [2, 5] 的和呢，貌似没有这个区间？

把几个区间拼起来即可，如下图：

那怎么创建线段树？

比如上面线段树的根节点有 10 个元素，左孩子是前 5 个元素，右孩子是后 5 个元素。

• 前 5 个元素的和 + 后 5 个元素的和 = 10 个元素的和
• 左孩子 + 右孩子 = 父节点

对于左、右孩子，以此划分，直到叶节点（只有一个元素）。

整个创建过程，是递归的。

线段树的创建，创建好左右子树之后，也就能决定自身节点的值了；

其实，从树的角度看，他们本质都是“后序遍历”，即处理完自己的子树之后，再处理自己。

线段树的物理存储，是数组。

如上图，线段树是一个平衡二叉树（不会退化为链表，整体元素分布平均），堆也是平衡二叉树。

但是一些叶节点是不存在的，为了放入数组中，我们可以假设那些不存在的叶节点为空，形成一个完全二叉树。

那就有一个问题了，如果区间有 n 个元素，用数组表示需要多少个节点？

对于一个满二叉树，树的层数和节点之间的关系：

• 第 0 层：1 个
• 第 1 层：2 个
• 第 2 层：4 个
• 第 3 层：8 个
• 第 h-1 层：$2^{h-1}$ 个

最后一层 h-1 层，有 $2^{h-1}$ 个节点，说明最后一层的节点数大致等于前面所有层节点之和。

• 最好：如果 n = 2 的幂，那么只需要 2n 的空间就可以存储
• 最坏：如果 n = 2 的幂 + 1，那么需要多一层空间存储这个额外的元素，而最后一层的节点数大致等于前面所有层节点之和，也就是需要 4n 的空间存储，最坏的情况下，有一半的空间是浪费的（如果是链式存储，可以避免浪费）

所以，数组表示需要开 4n 空间。

class NumArray 
public:
	NumArray(vector<int>& arr) 
		if (arr.size() > 0) 
			for (auto v : arr) 
				data.push_back(v);

			tree.resize(4 * data.size());
			buildTree(0, 0, data.size() - 1);        // 创建一个线段树 
		
	
	
	int sumRange(int i, int j) 
		if (data.size() == 0)	return 0;
		return query(0, 0, data.size() - 1, i, j);   // 从根节点开始查询区间[i, j]和
	

private:
	vector<int> data;     // 数组，用于保存数据副本
	vector<int> tree;     // 线段树数组
	
	// 返回完全儿叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引（知道根节点，就知道左孩子）
	int leftchild(int index)    
		return index * 2 + 1;
	
	
	// 返回完全儿叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引（知道根节点，就知道右孩子）
	int rightchild(int index) 
		return index * 2 + 2;
	
	
	// 在 treeIndex 位置创建表示区间 [l, r] 的线段树
	void buildTree(int treeIndex, int l, int r) 
		if (l == r)                                 // 结束条件：只有 1 个元素
			tree[treeIndex] = data[l];               // 所存储的信息等于元素本身
			return;
		
		
		// 表示一个区间
		int leftTreeIndex = leftchild(treeIndex);    // 必定有左孩子 
		int rightTreeIndex = rightchild(treeIndex);  // 相应的右孩子 
		
		// 创建左右子树相应的区间范围 
		int mid = l + (r - l) / 2;                   // 以 (l+r)/2 为中心
		buildTree(leftTreeIndex, l, mid);            // 区间 [l, mid] 创建线段树
		buildTree(rightTreeIndex, mid+1, r);         // 区间 [mid+1, r] 创建线段树
		tree[treeIndex] = tree[leftTreeIndex] + tree[rightTreeIndex]; 
		// 把左、右子树的值加在一起
 	

	/* 查询区间
		- treeIndex 表示当前处理的线段树的节点，在 tree 这个数组的什么位置
		- 在以 treeIndex 为根的线段树中 [l, r] 区间内，寻找 [queryL, queryR] 的值
	*/
	int query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) 
		if (l == queryL && r == queryR)         
		// 结束条件：左边界和想查询的 queryL 重合 且 右边界和想查询的 queryR 重合
			return tree[treeIndex];                       // 当前节点值是目标值
			
		// 如果这个节点不是要找的区间，就需要到当前节点的孩子节点去找
		int mid = l + (r - l) / 2;
		int leftTreeIndex = leftchild(treeIndex);         // 计算左孩子索引
		int rightTreeIndex = rightchild(treeIndex);       // 计算右孩子索引
		
		if (queryL >= mid + 1)                            // 如果目标区间和左孩子无关
			return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR); // 去右孩子找
		else if (queryR <= mid)                           // 如果目标区间和右孩子无关
			return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);      // 去左孩子找

		// 如果俩种情况都不是，目标区间没有完全落在孩子的区间中，那就需要进行拼接，俩边都需要找
		// 从查找 [queryL, queryR] 变成查找[queryL, mid]、[mid + 1, queryR]
		int leftresult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);   
		int rightresult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
		return leftresult + rightresult;                  // 融合
	
;

线段树好的地方，在于支持动态维护，适合多次查询、多次更新、边更新边查询。

 

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SRQT 分解

线段树用来解决区间问题是 $O(logn)$，SRQT 分解解决区间问题是 $O(\sqrt{n})$，在大规模数据上比不上线段树，好处在于，编程简单。

SRQT 分解：把一个含有 N 个元素的数组分成 $\sqrt{n}$ 份。

还有一种特殊情况，元素数量不等：

分好后，对每一份都计算一下元素和：

• 第 0 组：130
• 第 1 组：145
• 第 2 组：151
• 第 3 组：223
• 第 4 组：107

比如，查询区间 [6, 9]：

• 6 / 4 = 1（下取整），在第 1 组
• 9 / 4 = 2（下取整），在第 2 组
  

从 6 到 9 的元素遍历一次就好了，但这种情况貌似就没发挥出 SQRT 的作用。

SQRT 适合查询那种跨度大的区间，如区间[3, 16]：

本来我们应该从 3 到 16 遍历一次，但其实我们不用遍历第 1、2、3 组了。

• 头组：从第 0 组遍历到 55
• 中间：只需要把第 1、2、3 组的值加起来即可
• 尾组：从第 4 组遍历到 91
• 区间[3, 16] = 头组 + 中间 + 尾组

class NumArray 
    vector<int> data;
    vector<int> blocks;  // 存储各组的和
    int N;               // 元素总数
    int B;               // 每组元素个数
    int Bn;              // 组数
    
public:
    NumArray(vector<int>& nums) 
        N = nums.size();
        if (N == 0)
            return;
        
        B = (int)sqrt(N);
        Bn = N / B + (N % B > 0 ? 1 : 0);    // 不能整除，组数+1
        
        for(auto v : nums) 
			data.push_back(v);

		blocks.assign(N, 0);
        for(int i=0; i<N; i++)       
            blocks[i / B] += nums[i];        // 求组和
    
    
    int sumRange(int left, int right) 
        int bstart = left / B;               // 起始组号
        int bend = right / B;                // 终止组号

        int res = 0;
        if( bstart == bend )                // 所求的区间和属于同一组
            for(int i=left; i<=right; i++)   // 遍历得到结果
                res += data[i];
            return res;
        

        // 所求的区间和不属于同一组，需要分成 3 组
        int x = (bstart + 1) * B;
        for(int i=left; i<x; i++)            // 头组
            res += data[i];

        for(int i=bstart+1; i<bend; i++)     // 中间
            res += blocks[i];

        for(int i=bend * B; i<=right; i ++)  // 尾组
            res += data[i];
        return res;
    
;