并查集(UnionFind)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了并查集(UnionFind)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
并查集(UnionFind)
基本介绍
并查集可以高效的回答,网络中任意的俩个点是否连接,因为只关心是否连接,不关心是怎么连接,所以没有做无用功。
所谓并查集(UnionFind),就是由俩种操作组合而成:
- 并:union
- 查:find
我们通过一个数组记录这份关系:
数组编号 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
元素所属集合编号 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
一开始,1的编号是1,2的编号是2,N的编号是N:
- 编号不同,就在不同组
- 编号相同,就在同一组
如果我们把俩个元素合并,如 5 -> 6,相应的元素 5 所属的集合编号就变成 6:
数组编号 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
元素所属集合编号 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 |
#include<stdio.h>
int uset[1024]; // 记录节点所属编号
void makeSet( int size ) // 初始化并查集
for( int i=0; i<size; i ++ )
uset[i] = i; // 1的编号是1,2的编号是2,N的编号是N,编号不同,就在不同组
int find(int x) // 查:查找元素 x 所对应的集合编号
assert( x >= 0 && x < 1024 );
return uset[x];
bool isConnected( int x, int y ) // 查:查看元素 x 和 元素 y 是否所属一个集合
return find(x) == find(y); // 对比俩者的节点编号
void union( int x, int y ) // 并:合并俩个元素
int xID = find(x);
int yID = find(y);
if( xID == yID )
return;
for( int i=0; i<1024; i++ ) // 合并过程需要遍历一遍所有元素
if( uset[i] == xID ); // 遍历到 x 的数组编号
uset[i] = yID; // 将两个元素的所属集合编号合并
我们用数组的形式表示并查集,实际操作过程中查找的时间复杂度为
O
(
1
)
O(1)
O(1),但连接效率并不高
O
(
n
)
O(n)
O(n)。
合并优化
合并效率不高的原因在于,我们需要遍历一次数组,之所以如此是因为 uset[]
记录的是当前节点所属编号。
我们可以改变 uset[]
的定义,从记录所属节点编号变成记录父亲节点 parent[]
,这就是并查集和别的树不一样的地方,别的树是父亲指向孩子,并查集是孩子指向父亲。
把每一个元素,看做是一个节点并且指向自己的父节点,根节点指向自己。
- 其实判断两个元素是否连接,只需要判断根节点是否相同即可。
如下图所示这种情况,合并俩个元素,让 9 -> 4。
为了高效合并,实际我们并不会让 9 -> 4,而是让 9 -> 8(根节点),避免形成一个链表,体现不出树的优势。
这样的实现方式,会让 find
这一步复杂一些,我们需要获取根节点的编号,而不是当前元素的编号。
// 查:查找元素 x 所对应的集合编号
int find( int x )
assert( x >= 0 && x < 1024 );
return uset[x];
// 查:查找元素 x 的根节点
int find(int x)
assert( x >= 0 && x < 1024 );
while( x != parent[x] ) // 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点,根节点的特点: parent[x] == x
x = parent[x];
return x;
之前只需要比较俩个元素所属集合的编号是否相同,现在就需要查俩个节点各自所在的根节点是谁,如果俩者的根节点相同,说明俩个元素相连。
void union( int x, int y ) // 并:合并俩个元素
int xRoot = find(x);
int yRoot = find(y);
if( xRoot == yRoot )
return;
parent[xRoot] = yRoot; // 使其中一个根节点指向另外一个根节点,两个集合就合并了
完整代码:
#include<stdio.h>
int parent[1024]; // 记录节点的父亲节点,可以把 uset[] 改为 parent[]
void makeSet( int size ) // 初始化并查集
for( int i=0; i<size; i ++ )
parent[i] = i; // 1的编号是1,2的编号是2,N的编号是N,编号不同,就在不同组
int find(int x) // 查:查找元素 x 的父节点
assert( x >= 0 && x < 1024 );
while( x != parent[x] ) // 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点,根节点的特点: parent[x] == x
x = parent[x];
return x;
void union( int x, int y ) // 并:合并俩个元素
int xRoot = find(x);
int yRoot = find(y);
if( xRoot == yRoot )
return;
parent[xRoot] = yRoot; // 使其中一个根节点指向另外一个根节点
更简洁的写法:
#include<stdio.h>
int parent[1024]; // 记录节点的父亲节点,可以把 uset[] 改为 parent[]
void makeSet(int size) // 初始化并查集
for (int i = 0; i < size; i++)
parent[i] = i;
int find(int x) // 查:查找元素 x 的根节点
if (x != parent[x])
parent[x] = find(parent[x]);
return parent[x];
void unionSet(int x, int y)
x = find(x); // x = x 集合的根节点
y = find(y); // y = y 集合的根节点
if (x == y)
return;
parent[x] = y; // x、y集合合并,使其中一个根节点指向另外一个根节点
时间复杂度为 O ( h ) O(h) O(h) 复杂度, h h h 为树的高度。
大多数时候,树的高度
h
h
h 比数组长度
n
n
n 要小很多,但,尽管如此,我们这样写的并查集,可能会让树退化成链表,最坏的时间复杂度堪比
O
(
n
)
O(n)
O(n)。
基于 Size 优化
如下图所示这种情况,合并俩个元素,让 9 -> 4。
为了高效合并,实际我们并不会让 9 -> 4,而是让 9 -> 8(根节点),避免形成一个链表,体现不出树的优势。
但我们上面的代码实现 parent[xRoot] = yRoot
,却是让 8 -> 9 了,形成了一个单链表。
解决这个问题其实很简单,在进行合并操作时候,根据两个元素所在树的元素个数不同判断合并方向。
- 构造并查集的时候需要多一个参数,
size
数组,size[i] 表示以 i 为根的集合中元素个数。 - 在进行合并操作时候,根据两个元素所在树的元素个数不同判断合并方向
- 把元素少的集合根节点指向元素多的根节点
完整代码:
#include<stdio.h>
int parent[1024]; // 记录节点的父亲节点,可以把 uset[] 改为 parent[]
int size[1024]; // 表示以i为根的集合中元素个数,全局变量默认 = 0
void makeSet( int _size ) // 初始化并查集
for( int i=0; i<_size; i ++ )
parent[i] = i; // 1的编号是1,2的编号是2,N的编号是N,编号不同,就在不同组
int find(int x)
assert( x >= 0 && x < 1024 );
while( x != parent[x] ) // 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点,根节点的特点: parent[x] == x
x = parent[x];
return x;
void union( int x, int y ) // 并:合并俩个元素
int xRoot = find(x);
int yRoot = find(y);
if( xRoot == yRoot )
return;
// 根据两个元素所在树的元素个数不同判断合并方向
// 将元素个数少的集合合并到元素个数多的集合上
if( size[xRoot] < size[yRoot] )
parent[xRoot] = yRoot;
size[yRoot] += sz[xRoot];
else
parent[yRoot] = xRoot;
size[xRoot] += size[yRoot];
基于 Rank 优化
并查集基于 size 的优化,但是某些场景下,也会存在某些问题。
- size 的优化,元素少的集合根节点指向元素多的根节点。
操完后,层数变为 4,比之前增多了一层。
由此可知,依靠集合的 size 判断指向并不是完全正确的,更准确的是,根据两个集合层数,层数少的集合根节点指向层数多的集合根节点。
在并查集的属性中,把 size 数组改为 rank
数组,rank[i] 表示以 i 为根的集合所表示的树的层数。
#include<stdio.h>
int parent[1024]; // 记录节点的父亲节点,可以把 uset[] 改为 parent[]
int rank[1024]; // 表示以i为根的集合所表示的树的层数,全局变量默认 = 0
void makeSet( int size ) // 初始化并查集
for( int i=0; i<size; i ++ )
parent[i] = i; // 1的编号是1,2的编号是2,N的编号是N,编号不同,就在不同组
rank[i] = 1;
int find(int x)
assert( x >= 0 && x < 1024 );
while( x != parent[x] ) // 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点,根节点的特点: parent[x] == x
x = parent[x];
return x;
void union( int x, int y ) // 并:合并俩个元素
int xRoot = find(x);
int yRoot = find(y);
if( xRoot == yRoot )
return;
// 根据两个元素所在树的rank不同判断合并方向
// 将rank低的集合合并到rank高的集合上
if( rank[xRoot] < rank[yRoot] )
parent[xRoot] = yRoot;
else if ( rank[yRoot] < rank[xRoot])
parent[yRoot] = xRoot;
else
parent[xRoot] = yRoot;
rank[yRoot] += 1; // 此时, 维护rank的值
基于路径压缩优化
如果只看节点之间是否相互联通,其实最好情况 = 最坏情况 = 一般情况,但他们的层数不一样,会导致并查集复杂度不一样。
所以,并查集里的 find
函数里可以进行路径压缩,是为了更快速的查找一个点的根节点。
对于一个集合树来说,它的根节点下面可以依附着许多的节点,因此,我们可以尝试在 find
的过程中,从底向上,如果此时访问的节点不是根节点的话,那么我们可以把这个节点尽量的往上挪一挪,减少数的层数,这个过程就叫做路径压缩。
如下图中,最坏情况下 find(4)
的过程就可以路径压缩,让树的层数更少。
节点 2 向上寻找,也不是根节点,那么把元素 2 指向原来父节点的父节点,操后后树的层数相应减少了一层:
// uset[] 改为 parent[]
int find(int x)
assert( x >= 0 && x < 1024 );
while( x != parent[x] ) // 不是根节点
parent[x] = parent[parent[x]]; // 指向原来父节点的父节点
x = parent[x]; // 返回根节点
return x;
上述路径压缩并不是最优的方式,我们可以把最初的树压缩成最好情况,层数是最少的。
int find( int x ) // 查:查找元素 x 指向的根节点
if( x != parent[x] ) // 直到找到根节点,所有节点指向的节点
parent[x] = find( parent[x] ); // 从当前孩子节点继续找父亲节点
return parent[x]; // 返回 x 指向的根节点
完整代码:
#include<stdio.h>
int parent[1024]; // 记录节点的父亲节点,可以把 uset[] 改为 parent[]
void makeSet( int size ) // 初始化并查集
for( int i=0; i<size; i ++ )
parent[i] = i; // 1的编号是1,2的编号是2,N的编号是N,编号不同,就在不同组
int find( int x ) // 查:查找元素 x 指向的根节点
if( x != parent[x] ) // 直到找到根节点,所有节点指向的节点
parent[x] = find( parent[x] ); // 从当前孩子节点继续找父亲节点
return parent[x]; // 返回 x 指向的根节点
bool isConnected( int x, int y ) // 查:查看元素 x 和 元素 y 是否所属一个集合
return find(x) == find(y); // 俩个根节点是否相等
void union( int x, int y ) // 并:合并俩个元素
int xRoot = find(x);
int yRoot = find(y);
if( xRoot == yRoot )
return;
// 根据两个元素所在树的rank不同判断合并方向
// 将rank低的集合合并到rank高的集合上
if( rank[xRoot] < rank[yRoot] )
[xRoot] = yRoot;
else if ( rank[yRoot] < rank[xRoot])
parent[yRoot] = xRoot;
else
parent[xRoot] = yRoot;
rank[yRoot] += 1; // 此时, 维护rank的值
以上是关于并查集(UnionFind)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章