《数值分析》-- 拉格朗日插值

Posted 2021-12-22 胜天半月子

文章目录

• 问题
• 一、拉格朗日插值基函数
• 二、拉格朗日插值多项式
• 三、n次Lagrange插值多项式余项
• 习题
• 总结

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问题

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一、拉格朗日插值基函数

• n=1时一次基函数
  
• 两点线性插值问题
  

• 问题：即已知函数 f(x)在点$x_0$和$x_1$点的函数值
  $y_0$=f($x_0$)，$y_1$=f($x_1$).
  求线性函数 $L_1$(x)=$a_0$+$a_1$x
  使满足条件：$L_1$($x_0$)=$y_0$,$L_1$($x_1$)=$y_1$

①：把x=$x_0$带入$L_1$(x)中，$L_1(x_0)$ = $y_0$ + 0 = $y_0$
②：把x=$x_1$带入$L_1$(x)中，$L_1$($x_1$) = $y_0$ + ($y_1$-$y_0$)($x_1$-$x_0$) / ($x_1$-$x_0$) = $y_0$ + $y_1$ - $y_0$ = $y_1$

则称$l_0$(x)叫做点$x_0$的一次插值基函数， $l_1$(x)叫
做点$x_1$的一次插值基函数

当x=$x_0$时，$l_0$=1; x=$x_1$时，$l_0$=0;
当x=$x_0$时，$l_1$=0; x=$x_1$时，$l_1$=1;

• n=2时二次基函数
  

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二、拉格朗日插值多项式

对上述举例：

begin---------------------------------------------

• n=1时
  

①：把x=$x_0$带入$L_1$(x)中，L1(x0) = $y_0$ + 0 = $y_0$
②：把x=$x_1$带入$L_1$(x)中，L1(x1) = $y_0$ + ($y_1$-$y_0$)($x_1$-$x_0$) / ($x_1$-$x_0$) = $y_0$ + y

以上是关于《数值分析》-- 拉格朗日插值的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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[数值计算-14]：拉格朗日插值与Python代码实现

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