向量空间中的：线性相关与线性无关

Posted 2021-12-21 土味儿大谢

生成空间：以二维空间为例，给定两个非零向量。
其中两个非零向量系数a，b任意取值组合，就可以得到整个二维空间，除非两向量共线。
一个向量固定，另一个向量自由变化，其线性组合可得到一条直线。

文章目录

• • 一、线性相关
  • 二、线性无关
  • • 2.1 基
    • 2.2 秩
    • 2.3 极大线性无关组

一、线性相关

若给定多个向量，移除其中一就是部分而不减少生成空间，就是线性相关
若生成空间的维数比给定向量的个数少，就说明这些给定的向量是线性相关
比如图所示，a(2,3)+b(-2,-3)就是线性相关的，因为就算把b(-2,-3)这个向量删除，a(2,3)得到的生成空间依然是那一条线。也就是给了我2个向量，但是生成的却是个1维空间

代数定义：若向量组中某个向量可以由其余的向量线性表处（即通过线性组合计算得到），那么这个向量组称为线性相关的。
比如(1,2)，(2,3)，(4,7)这个向量组就是线性相关的
因为2(1,2)+(2,3) = (4,7)

二、线性无关

若所有向量都给生成空间增加了维度，就是线性无关

向量空间就是通过n个不线性相关的向量通过线性组合生成出来的就是向量空间

2.1 基

用来生成这个空间的向量，就叫做这个空间的一组基，比如下图的两个向量

n维空间中任意n个线性无关的向量都可以是空间的一组基。基组生成了该线性空间。
默认都用自然基：

2.2 秩

几何定义：矩阵的秩：线性变换后空间的维数

原始定义：向量组中线性无关的向量的个数。即向量组的极大线性无关组的向量个数。因为线性无关的向量才能生成向量空间。

比如这个题，给了我们5个向量，结果发现就3个向量是线性无关的，那么这5个向量只能生成一个3维空间。矩阵的秩=3

2.3 极大线性无关组

还是这个题，给了我们5个向量，结果发现就a1、a2、a4这3个向量是线性无关的。但是把另外两个向量a3或a5任意一个加进去都会出现线性相关。那a1，a2，a4这三个本就无关的向量就叫做这个向量组的极大线性无关组

意思就是，给我一个向量组，我发现有某些向量是线性无关的，但是这个线性无关的组中，加入任何一个其他向量都会出现线性相关，那么我们就说原来无关的那个向量组就叫做极大线性无关组