B树及其基本操作（查找插入删除）

Posted 2021-12-20 薛定谔的猫ovo

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了B树及其基本操作（查找插入删除）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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B树的基本概念

B树，又称为多路平衡查找树。

一棵m阶B树是一棵平衡的 $m$ 叉查找树，它或者是空树，或者是满足以下性质的树：

1、每个结点最多有 $m$ 棵子树（即至多含 $m - 1$ 个关键字），并具有如下结构： $n,\\ P_0,\\ K_1,\\ P_1,\\ K_2, \\ P_2, \\ ...\\ ,\\ K_n,\\ P_n$
其中， $n$ 是结点内关键码的实际个数， $P_i（0≤i≤n＜m）$ 是指向子树的指针， $K_i（1≤i≤n＜m）$ 是关键码，且 $K_i<K_i+1（1≤i＜n）$
2、根结点至少有两个子女；除根结点以外的所有结点至少有 $\\lceil m/2 \\rceil$ 个子女
3、在子树 $P_i$ 中的所有关键码都小于 $K_i+1$ ，且大于 $K_i$ ；在子树 $P_n$ 中的所有关键码都大于 $K_n$
4、所有失败结点都位于同一层，它们都是查找失败时查找指针到达的结点。所有失败结点都是空结点，指向它们的指针都为空。

一个简单的3阶B树示例：

B树是所有结点的平衡因子均等于0的多路查找树，上图所示的底层方形结点表示叶结点，在这些结点中没有存储任何信息。

B树的高度

若设 $m$ 阶B树的高度为 $h$ （B树的高度不包括失败结点，即最后一层的叶结点），最大结点个数为 $n$ ，则根据 $m$ 叉树的性质，有
$n≤\\sum_i=1^h m^h-1=\\frac1m-1(m^h-1)$
因为B树中每个结点中最多有 $m - 1$ 个关键码，故在一棵高度为 $h$ 的 $m$ 阶B树种关键码的个数 $N≤m^h-1$ ，因此有 $h≥log_m(N+1)$

若让每个结点种的关键字个数达到最少，则容纳同样多关键字的B树的高度达到最大。
根据B树的定义：第一层至少有1个结点；第二层至少有2个结点；由于除了根结点外的每个非终端结点至少有 $\\lceil m/2 \\rceil$ 棵子树，
则第三层至少含有 $2\\lceil m/2 \\rceil$ ……，第 $h + 1$ 层至少有 $2(\\lceil m/2 \\rceil)^h-1$ 个结点，而第 $h + 1$ 层是不含任何信息的叶结点;
那么对于关键字个数为 $n$ 的B树，叶结点即查找不成功的结点为 $n + 1$ ，故 $n+1≥2(\\lceil m/2 \\rceil)^h-1$ ，即 $h≤log_\\lceil m/2 \\rceil((n+1)/2+1)$

B树的查找

在B树上进行查找与二叉查找树很相似，只是每个结点都是多个关键字的有序表，在每个结点上所做的不是两路分支决定，而是根据该结点的子树所作的多路分支决定。

B树的查找包含两个基本操作：
① 在B树中找结点；
② 在结点内找关键字。
在B树上找到某个结点后，先在有序表中进行查找，若找到则查找成功，否则按照对应的指针信息到所指的子树中去查找。查找到叶结点时（对应指针为空指针），则说明树中没有对应的关键字，查找失败。

下图给出一个查找过程：

由于B树常存储在磁盘上，因此前一个查找操作是在磁盘上进行的，而后一个查找操作是在内存中进行的，所以B树中的大部分操作所需的磁盘存取次数与B树的高度成正比。

B树的插入

与二叉查找树的插入操作相比，B树的插入操作要复杂的多。
在二叉查找树中，仅需要查找到需插入的终端结点的位置。但是，在B树中找到插入位置后，并不能简单地将其添加到终端结点中，因为此时可能会导致整棵树不再满足B树定义中地要求。

将关键字key插入到B树的过程如下：
<1> 定位。利用B树查找算法，找出插入该关键字的最低层中的某个非叶结点。
<2> 插入。在B树中，每个非失败结点的关键字的个数都在区间 $[\\lceil m/2 \\rceil-1, \\ m-1]$ 内。
插入后的结点关键字个数小于 $m$ ，可以直接插入；
插入后检查被插入结点内关键字的个数，当插入后的结点关键字个数大于 $m - 1$ 时，必须对结点进行分裂。