尚硅谷算法与数据结构学习笔记05 -- 递归

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了尚硅谷算法与数据结构学习笔记05 -- 递归相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1、递归介绍

1.1、递归应用场景

  • 看个实际应用场景, 迷宫问题(回溯), 递归(Recursion)

1.2、递归的概念

  • 简单的说: 递归就是方法自己调用自己,每次调用时传入不同的变量,递归有助于编程者解决复杂的问题,同时可以让代码变得简洁。

1.3、递归调用机制

  • 打印问题

  • 阶乘问题
// 阶乘问题
public static int factorial(int n) 
    if (n == 1) 
        return 1;
     else 
        return factorial(n - 1) * n;
    

1.4、递归能解决什么问题

  • 各种数学问题如: 8 皇后问题,汉诺塔,阶乘问题,迷宫问题,球和篮子的问题(google 编程大赛)
  • 各种算法中也会使用到递归, 比如快排, 归并排序, 二分查找, 分治算法等.
  • 将用栈解决的问题 --> 递归代码比较简洁

1.5、递归需遵循的规则

  • 执行一个方法时, 就创建一个新的受保护的独立空间(一个线程有自己独立的一个栈空间,每个方法调用对应着一个栈帧)
  • 方法的局部变量是独立的, 不会相互影响, 比如 n 变量
  • 如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组), 就会共享该引用类型的数据
  • 递归必须向退出递归的条件逼近, 否则就是无限递归,出现 StackOverflowError, 死龟了 😃
  • 当一个方法执行完毕,或者遇到return,就会返回,遵守谁调用,就将结果返回给谁,同时当方法执行完毕或者返回时,该方法也就执行完毕。

2、递归-迷宫问题

2.1、代码思路

  • 使用二维数组 map[][] 模拟迷宫
  • 约定: 当 map[i][j]0 表示该点没有走过;当为 1 表示墙;2 表示通路可以走 ;3 表示该点已经走过,但是走不通
  • setWay() 方法用于找路,true 表示该路可以走通,false 表示该路走不通
  • 在走迷宫时,需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 一步一步向前试探,如果该点走不通,再回溯
  • 每当走到一个点时,将该点置为 2 ,暂时假设该路能走通,至于到底走不走得通,得看后面有没有找到通路
    • 如果后面的路能走通,从最后一个点开始返回,整个 setWay() 递归调用链都返回 true
    • 如果后面的路不能走通,那么将当前的点设置为 3 ,表示是死路,走不通,回溯至上一个点,看看其他方向能不能走通

2.2、代码实现

  • 迷宫问题递归解法
// 使用递归回溯来给小球找路
// 说明
// 1. map 表示地图
// 2. i,j 表示从地图的哪个位置开始出发 (1,1)
// 3. 如果小球能到 map[6][5] 位置,则说明通路找到.
// 4. 约定: 当map[i][j] 为 0 表示该点没有走过 当为 1 表示墙 ; 2 表示通路可以走 ; 3 表示该点已经走过,但是走不通
// 5. 在走迷宫时,需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 如果该点走不通,再回溯
/**
 * 
 * @param map 表示地图
 * @param i   从哪个位置开始找
 * @param j
 * @return 如果找到通路,就返回true, 否则返回false
 */
public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) 
	if (map[6][5] == 2)  // 通路已经找到ok
		return true;
	 else 
		if (map[i][j] == 0)  // 如果当前这个点还没有走过
			// 按照策略 下->右->上->左 走
			map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通.
			if (setWay(map, i + 1, j)) // 向下走
				return true;
			 else if (setWay(map, i, j + 1))  // 向右走
				return true;
			 else if (setWay(map, i - 1, j))  // 向上走
				return true;
			 else if (setWay(map, i, j - 1))  // 向左走
				return true;
			 else 
				// 说明该点是走不通,是死路
				map[i][j] = 3;
				return false;
			
		 else  // 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1, 2, 3
			return false;
		
	


// 修改找路的策略,改成 上->右->下->左
public static boolean setWay2(int[][] map, int i, int j) 
	if (map[6][5] == 2)  // 通路已经找到ok
		return true;
	 else 
		if (map[i][j] == 0)  // 如果当前这个点还没有走过
			// 按照策略 上->右->下->左
			map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通.
			if (setWay2(map, i - 1, j)) // 向上走
				return true;
			 else if (setWay2(map, i, j + 1))  // 向右走
				return true;
			 else if (setWay2(map, i + 1, j))  // 向下走
				return true;
			 else if (setWay2(map, i, j - 1))  // 向左走
				return true;
			 else 
				// 说明该点是走不通,是死路
				map[i][j] = 3;
				return false;
			
		 else  // 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1(墙体), 2(已经走过的格子), 3(已经走过,并且无法走通的格子) 
			return false;
		
	

  • 测试代码
public static void main(String[] args) 
   // 先创建一个二维数组,模拟迷宫
   // 地图
   int[][] map = new int[8][7];
   // 使用1 表示墙
   // 上下全部置为1
   for (int i = 0; i < 7; i++) 
       map[0][i] = 1;
       map[7][i] = 1;
   

   // 左右全部置为1
   for (int i = 0; i < 8; i++) 
       map[i][0] = 1;
       map[i][6] = 1;
   
   // 设置挡板, 1 表示
   map[3][1] = 1;
   map[3][2] = 1;
   map[4][4] = 1;
   map[5][4] = 1;
   map[6][4] = 1;
   map[4][4] = 1;

   // 输出地图
   System.out.println("地图的情况");
   for (int i = 0; i < 8; i++) 
       for (int j = 0; j < 7; j++) 
           System.out.print(map[i][j] + " ");
       
       System.out.println();
   

   // 使用递归回溯给小球找路
   setWay(map, 1, 1);
   // setWay2(map, 1, 1);

   // 输出新的地图, 小球走过,并标识过的地图
   System.out.println("小球走过,并标识过的 地图的情况");
   for (int i = 0; i < 8; i++) 
       for (int j = 0; j < 7; j++) 
           System.out.print(map[i][j] + " ");
       
       System.out.println();
   


  • 程序运行结果
地图的情况
1 1 1 1 1 1 1 
1 0 0 0 0 0 1 
1 0 0 0 0 0 1 
1 1 1 0 0 0 1 
1 0 0 0 1 0 1 
1 0 0 0 1 0 1 
1 0 0 0 1 0 1 
1 1 1 1 1 1 1 
小球走过,并标识过的 地图的情况
1 1 1 1 1 1 1 
1 2 0 0 0 0 1 
1 2 2 2 0 0 1 
1 1 1 2 2 2 1 
1 3 3 3 1 2 1 
1 3 3 3 1 2 1 
1 3 3 3 1 2 1 
1 1 1 1 1 1 1 
  • 搞不清逻辑的话,可以自己玩一玩
地图的情况
1 1 1 1 1 1 1 
1 0 0 0 0 0 1 
1 0 0 0 0 0 1 
1 1 1 0 0 0 1 
1 0 0 0 1 0 1 
1 0 0 0 1 0 1 
1 0 0 0 1 0 1 
1 1 1 1 1 1 1 
  • 程序执行逻辑分析

    • 第一阶段:按照 下->右->上->左 的策略,走入了死胡同

1 1 1 1 1 1 1 
1 2 0 0 0 0 1 
1 2 2 2 0 0 1 
1 1 1 2 0 0 1 
1 2 2 2 1 0 1 
1 2 2 2 1 0 1 
1 2 2 2 1 0 1 
1 1 1 1 1 1 1 
*   第二阶段:开始回溯,标记此路不通


1 1 1 1 1 1 1 
1 2 0 0 0 0 1 
1 2 2 2 0 0 1 
1 1 1 2 0 0 1 
1 3 3 3 1 0 1 
1 3 3 3 1 0 1 
1 3 3 3 1 0 1 
1 1 1 1 1 1 1 

寻找到了通往天堂的路径

1 1 1 1 1 1 1 
1 2 0 0 0 0 1 
1 2 2 2 0 0 1 
1 1 1 2 2 2 1 
1 3 3 3 1 2 1 
1 3 3 3 1 2 1 
1 3 3 3 1 2 1 
1 1 1 1 1 1 1 

2.3、思考题

  • 求出最短路径(枚举可能的找路策略)

2.4、总结

  • 这和递归遍历文件夹有相同之处
  • 如果不进入文件夹看看,我就永远不知道这个文件夹里面是否还有子文件和子文件夹,我们需要遍历到一个文件夹的最深处,然后触底反弹
  • 如果我没有到达终点,这条路到底通不通,我并不知道,所以我先试探性地走到终点,然后从终点往前回溯?
  • 死路咋办?我也是先试探性地往前走,走不通,我回溯到之前的点,再尝试新的走法

3、递归-八皇后问题(回溯算法 )

3.1、八皇后问题介绍

  • 八皇后问题, 是一个古老而著名的问题, 是回溯算法的典型案例。 该问题是国际西洋棋棋手马克斯· 贝瑟尔于1848 年提出: 在 8× 8 格的国际象棋上摆放八个皇后, 使其不能互相攻击, 即: 任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上, 问有多少种摆法(92)。

3.2、代码思路

  • 第一个皇后先放第一行第一列
  • 第二个皇后放在第二行第一列、 然后判断是否 OK, 如果不 OK, 继续放在第二列、 第三列、 依次把所有列都放完, 找到一个合适
  • 继续第三个皇后, 还是第一列、 第二列…… ,直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置, 算是找到了一个正确解
  • 当得到一个正确解时, 在栈回退到上一个栈时, 就会开始回溯, 即将第一个皇后, 放到第一列的所有正确解,全部得到
  • 然后回头继续第一个皇后放第二列, 后面继续循环执行 1, 2, 3, 4 的步骤

3.3、代码实现

  • 关于 array 数组的说明:

    • 理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘, 但是实际上可以通过算法, 用一个一维数组即可解决问题: array[8] = 0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3
    • array 数组的下标代表皇后所在的行数,array 数组中的值代表皇后所在的列数
    • 比如 a[0] = 0 ,则表示第一个皇后在第一行第一列
  • judge(int n) 方法:

    • 参数 n :表示当前在放置第 n 个皇后
    • 判断是否在同一列:array[i] == array[n]
    • 判断是否在同一斜线上:Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i]) ,即判断行差绝对值与列差绝对值是否相等
  • check(int n) 方法:

    • 参数 n :当前要放置第几个皇后(索引从 0 开始,n=8 时表示八皇后放置完毕)
    • 当前放置的皇后,需要与之前的皇后位置进行比较,看看冲不冲突,所以需要一个 for 循环:for (int i = 0; i < n; i++)
public class Queue8 
    
 	// 定义一个max表示共有多少个皇后
 	int max = 8;
 	// 定义数组array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = 0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3
 	int[] array = new int[max];
 	static int count = 0;
 	static int judgeCount = 0;
 
 	public static void main(String[] args) 
 		// 测试一把 , 8皇后是否正确
 		Queue8 queue8 = new Queue8();
 		queue8.check(0);
 		System.out.printf("一共有%d种解法\\n", count);
 		System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次", judgeCount); // 1.5w
 
 	
 
 	// 编写一个方法,放置第n个皇后
 	// 特别注意: check 是 每一次递归时,进入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++),因此会有回溯
 	private void check(int n) 
 		if (n == max)  // n = 8 , 其实8个皇后就已经放好,因为索引从 0 开始
 			print();
 			return;
 		
 
 		// 依次放入皇后,并判断是否冲突
 		for (int i = 0; i < max; i++) 
 			// 先把当前这个皇后 n , 放到该行的第1列
 			array[n] = i;
 			// 判断当放置第n个皇后到i列时,是否冲突
 			if (judge(n))  // 不冲突
 				// 接着放n+1个皇后,即开始递归
 				check(n + 1); 
 			
 			// 如果冲突,就继续执行 array[n] = i; 即将第n个皇后,放置在本行的后移的一个位置
 		
 	
 
 	// 查看当我们放置第n个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
 	/**
 	 * 
 	 * @param n 表示第n个皇后
 	 * @return
 	 */
 	private boolean judge(int n) 
 		judgeCount++;
 		for (int i = 0; i < n; i++) 
 			// 说明
 			// 1. array[i] == array[n] 表示判断 第n个皇后是否和前面的n-1个皇后在同一列
 			// 2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线
 			// n = 1 放置第 2列 1 n = 1 array[1] = 1
 			// Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1
 			// 3. 判断是否在同一行, 没有必要,n 每次都在递增
 			if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) 
 				return false;
 			
 		
 		return true;
 	
 
 	// 写一个方法,可以将皇后摆放的位置输出
 	private void print() 
 		count++;
 		for (int i = 0; i < array.length; i++) 
 			System.out.print(array[i] + " ");
 		
 		System.out.println();
 	
 
 
  • 程序运行结果
0 4 7 5 2 6 1 3 
0 5 7 2 6 3 1 4 
0 6 3 5 7 1 4 2 
0 6 4 7 1 3 5 2 
1 3 5 7 2 0 6 4 
1 4 6 0 2 7 5 3 
1 4 6 3 0 7 5 2 
1 5 0 6 3 7 2 4 
1 5 7 2 0 3 6 4 
1 6 2 5 7 4 0 3 
1 6 4 7 0 3 5 2 
1 7 5 0 2 4 6 3 
2 0 6 4 7 1 3 5 
2 4 1 7 0 6 3 5 
2 4 1 7 5 3 6 0 
2 4 6 0 3 1 7 5 
2 4 7 3 0 6 1 5 
2 5 1 4 7 0 6 3 
2 5 1 6 0 3 7 4 
2 5 1 6 4 0 7 3 
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