AtCoder Beginner Contest 228（E补题）

Posted 2021-12-17 佐鼬Jun

E - Integer Sequence Fair

题意： $P=998244353$输入三个数，$M,N,K$ 就是需要求$M^{k^N}mod$ $P$
思路： 由于数据范围很大 所以需要先处理$K^N$,再处理$M^{k^N}$
根据费马小定理 如果$gcd(a,p)=1$那么$a^{p-1}\equiv 1$($modp$)
在这个题中，由于$P$是素数，所以除了$M$是$P$的倍数以外的情况, 一定会出现$gcd(P,M)=1$
所以分类讨论即可
1.$M$是$P$的倍数,那么$MmodP=0$所以输出0即可
令$q$为$K^N$除以$P-1$的商，$r$为$K^N$除以$P-1$的余数
2.$M$不是$P$的倍数
令$q$为$K^N$除以$P-1$的商，$r$为$K^N$除以$P-1$的余数根据上面的结论，$M^{K^N}$$=M^{q(P-1)+r}=M^{q(P-1)}\times M^r\equiv 1^q\times M^r\equiv M^r(modP)$
所以就是先算$K^{N}mod(P-1)$为$temp$,再算$M^{temp}(modP)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define ll long long
const int MOD = 998244353;

int phi(ll x) 
    ll res = x;
    for (ll i = 2; i <= x / i; i++) 
        if (x % i == 0) 
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) 
                x /= i;
            
        
    
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;


int qmi(int a, int k, int mod) 
    int res = 1;
    a %= mod;
    while (k) 
        if (k & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        k >>= 1;
    
    return res;


signed main() 
    int n, k, m;
    cin >> n >> k >> m;
    ll p = phi(MOD);
    if (m % MOD == 0) 
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    
    int temp = qmi(k, n, p);
    int res = qmi(m, temp, MOD);
    cout << res << endl;

在快速幂中之所以要特判$M\equiv 0(modp)$的情况，是因为如果出现指数变成$0$，那么写的快速幂由于没有特判就会直接输出$1$，但是本应该输出$0$
但是也可以不特判，因为只要保证指数$>0$即可,因为通过前提推论可知，$M^{P-1}\equiv 1(modP)$,所以可以直接在第一次的快速幂中加上$P-1$
不会影响等式，因为$M^{K^N}\times M^{P-1}\equiv M^{K^N}(modP)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define ll long long
const int MOD = 998244353;

int phi(ll x) 
    ll res = x;
    for (ll i = 2; i <= x / i; i++) 
        if (x % i == 0) 
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) 
                x /= i;
            
        
    
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;


int qmi(int a, int k, int mod) 
    int res = 1;
    a %= mod;
    while (k) 
        if (k & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        k >>= 1;
    
    return res;


signed main() 
    int n, k, m;
    cin >> n >> k >> m;
    ll p = phi(MOD);
    int temp = qmi(k, n, p) + p;
    int res = qmi(m, temp, MOD);
    cout << res << endl;

To be continued
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