《算法零基础100讲》(第30讲) 概率与统计

Posted 2021-12-15 英雄哪里出来

文章目录

• 零、写在前面
• 一、概念定义
• 二、题目描述
• 三、算法详解
• 四、源码剖析
• 五、推荐专栏
• 六、习题练习

零、写在前面

  这是《算法零基础100讲》 专栏打卡学习的第三十天了。
  每天打卡的题，做不出来没关系，因为困难的题涉及知识点较多，后面还是会开放出来的，就像昨天的 最大公约数 那道题今天还是会有，所以不要着急，内容能看懂，能自己分析，能做出简单题，就可以打卡。
  在刷题的过程中，总结自己遇到的坑点，写出 「 解题报告 」 供他人学习，也是一种自我学习的方式。这就是经典的帮助他人的同时，成就自己。目前， 「 万人千题 」 社区 每天都会有五六篇高质量的 「 解题报告 」 被我 「 加精 」。如果觉得自己有能力的，也可以来发布你的 「 解题报告 」。千万级流量，你我共同拥有。

一、概念定义

  概率这个事情，如果要扯远，那就可以写一本书了。而竞赛或者力扣上的概率题，一般都是和动态规划相结合的，

二、题目描述

  把 $n$ 个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为 $s$。输入 $n$，打印出 $s$ 的所有可能的值出现的概率。你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 $i$ 个元素代表这 $n$ 个骰子所能掷出的点数集合中第 $i$ 小的那个的概率。

三、算法详解

  对于任意一个骰子来讲，丢出任意点数的概率都是 $\frac{1}{6}$，对于 $n$ 个骰子来讲，丢出的数值的取值为 $[n,6n]$。试想一下，丢出 $n$ 的情况，就是 $n$ 个骰子都是 1 的情况，方案数为一种；丢出 $6n$ 的情况，就是 $n$ 个骰子都为 6 的情况，方案数也为一种。
  于是，我们可以这么来看，$i$ 个骰子丢出 $j$ 的方案数如果为 $f[i][j]$，那么丢出 $j$ 的概率，就是 $$\frac{f[i][j]}{{\sum }_{k=n}^{6n}f[i][k]}$$
  那么，我们来看下怎么求 $f[i][j]$，首先 $f[0][0]=1$，而对于 $i$ 个骰子的情况，它有六种选择方式，分别为 $k=1-6$，于是剩下 $i-1$ 个骰子的总和就变成了 $j-k$，于是，问题就转变成了求 $f[i-1][j-k]$的问题，这样思路就有了，我们可以得到递推式：$$f[i][j]=\sum _{k=1}^{6}f[i-1][j-k]$$
  三层循环递推求解。

四、源码剖析

int dp[12][70];

double* dicesProbability(int n, int* returnSize)
    int i, j, k;
    double f;
    double *ret = (double *)malloc( sizeof(double) * (n * 6 + 1) );
    memset(dp, 0, sizeof(dp));                     // (1)
    dp[0][0] = 1;
    for(i = 1; i <= n; ++i) 
        for(j = 1; j <= 6*n; ++j) 
            dp[i][j] = 0;
            for(k = 1; k <= 6; ++k) 
                if(j >= k)
                    dp[i][j] += dp[i-1][j-k];      // (2)
            
        
    
    f = 1;
    for(i = 0; i < n; ++i) 
        f /= 6;                                    // (3)
    
    *returnSize = 0;
    for(i = 0; i <= 6*n; ++i) 
        if(dp[n][i]) 
            ret[ (*returnSize)++ ] = dp[n][i] * f; // (4)
        
    
    return ret;

• $(1)$ $dp[i][j]$ 代表 $i$ 个骰子，组合出点数为 $j$ 的方案数；
• $(2)$ 枚举第 $i$ 个骰子的情况，从而根据子问题求解；
• $(3)$ 计算概率对应的分母，也就是和的所有的情况；
• $(4)$ 计算结果数组；

五、推荐专栏

💜《夜深人静写算法》💜   （二）动态规划入门

六、习题练习

序号	题目链接	难度
1	飞机座位分配概率	★☆☆☆☆
2	LCP 11. 期望个数统计	★★☆☆☆
3	用 Rand7() 实现 Rand10()	★★☆☆☆
4	大样本统计	★★☆☆☆
5	n个骰子的点数	★★★☆☆
6	(困难) 新21点	★★★★☆
7	(困难) 两个盒子中球的颜色数相同的概率	★★★★☆

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