[POJ3372]Candy Distribution

Posted 2021-12-15 StaroForgin

Candy Distribution

题解

相当有趣的题。

首先，我们可以发现一点，当我们给了$n$个小朋友糖时，我们总共走了$\frac{n(n-1)}{2}$步。
如果$n$是奇数，我们肯定现在已经回到了$1$号位，我们只需要说明我们在这$n$步中给了每个小朋友恰好一颗糖即可。
如果我们的$n$是偶数，那我们现在肯定是在位置$\frac{n}{2}$，也就是说后面$n$步于先前$\frac{n}{2}$步相对于我们$\frac{n}{2}$的线得到的应该是等价的。
也就是说，我们真正走到每个点的次数，在这种情况下，前$\frac{n}{2}$块每个点被走到的次数是与后$\frac{n}{2}$块的等价点被走到的次数相同，可以将后$\frac{n}{2}$步反过来考虑，显然它反过来走是与前$\frac{n}{2}$步正着走等价的。
所以，我们可以将它规约到$\frac{n}{2}$的子问题上去考虑，因为只要在$\frac{n}{2}$的子问题能够合法，那我们$n$的问题也是一定合法的，反之亦然。
如果我们$\frac{n}{2}$的问题是奇数，那么也有我们上面能够覆盖满的条件，否则我们可以继续规约到$\frac{n}{4}$的子问题上。
所以我们只需要看哪些奇数能够有解。
我们记$f(i)=\frac{i(i-1)}{2}$，那么我们只需要$f(1),f(2),...f(n)$能够覆盖满$n$的简化剩余系。
也就是说，$\forall i,j\in [1,n](i\ne j),f(i)\ne f(j)$。
可以得到$\frac{(i-j)(i+j-1)}{2}\not\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$。
显然，$(i-j)$与$(i+j-1)$的奇偶性不同，所以我们的$\frac{(i-j)(i+j-1)}{2}$必定有一个奇数因子。
如果这个奇数因子是由$i+j-1$构成的，当$n>1$，我们显然可以找到找到这样的一对$(i,j)$，使得$i+j-1=n$，从而使得无解。
也就是说，如果我们的$n$含有除$2$以外的质因子，也就是说它不是$2$的幂，它就无解，否则一定有解。

时间复杂度$O\left(\log n\right)$。

源码

这也需要代码吗？

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double ld;      
const double INF=1e18;    
const int mo=998244353;
const int inv2=499122177;
const double jzm=0.997;
const int zero=100;
const int lim=200;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<double,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
	while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
	x*=f;

template<typename _T>
void print(_T x)if(x<0)x=(~x)+1;putchar('-');if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');
int gcd(int a,int b)return !b?a:gcd(b,a%b);
int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int n;
signed main()
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
		while(!(n&1))n>>=1;
		puts(n==1?"YES":"NO");
	
	return 0;

谢谢！！！