数据结构——树Ⅰ

Posted 2021-12-14 364.99°

1.概述

树： 由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

特点：

• 每个结点有零个或多个子结点；
• 没有父结点的结点为根结点；
• 每一个非根结点只有一个父结点；
• 每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；

相关术语：

• 结点的度：
  一个结点含有的子树的个数
  A结点的度为6
• 叶结点（终端结点）：
  度为0的结点
  如：B、H、I、J、K、N、O、M
• 分支结点（非终端结点）：
  度不为0的结点
• 结点的层次：
  从根结点开始，根结点的层次为1，之后每一层+1
  如：A的层次为1，N的层次为4
• 结点的层序编号：
  将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数
  如：A：0、B：1、H：8
• 树的度：
  树中所有结点的度的最大值
  此树中A结点的度最大为6，故树的度为6
• 树的高度(深度)：
  树中结点的最大层次
  此树中N、O结点层次最大，为4，故树的高度为4
• 森林：
  多个互不相交的树的集合。将一个非空树的根节点去掉就形成了森林，给一个森林加一个统一的根节点即形成树
  
• 孩子结点：
  一个结点的直接后继结点
  如：I、H都是C的孩子结点
• 双亲结点(父结点)：
  一个结点的直接前驱
  如：C是H、I的双亲结点
• 兄弟结点：
  同一双亲结点的孩子结点
  如：I、H是兄弟结点

2.二叉树

2.1 概述

二叉树： 度不超过2的树

满二叉树： 一个二叉树，如果每一个层的结点的度都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树

完全二叉树： 叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

2.2 写一个二叉树

二叉树本质就是由一个一个的结点及其之间的关系组成

二叉查找树（链表实现）

二叉查找树： 小的放在左边，大的放在右边

方法图示：

• put()

• delete()
  

• get()
  

---

代码实现：

1. 定义一个节点类

/**
 * 二叉树节点类
 * @param <Key>
 * @param <Node>
 */
public class Node<Key,Value> 
    //存储键
    private Key key;
    //存储值
    private Value value;
    //记录左子节点
    private Node left;
    //记录右子节点
    private Node right;

    public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) 
        this.key = key;
        this.value = value;
        this.left = left;
        this.right = right;
    

2. 顺序二叉树的实现

package tree;

//通过Key实现foreach
public class BinaryTree <Key extends Comparable<Key>,Value>

    //内部结点类
    private class Node
        //键
        public Key key;
        //值
        public Value value;
        //左子节点
        public Node left;
        //右子结点
        public Node right;

        public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) 
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.left = left;
            this.right = right;
        
    

    //根节点
    private Node root;
    //元素个数
    private int N;

    //获取元素个数
    public int size()
        return N;
    

    //向树中存储键值对
    public void put(Key key,Value value)
        root = put(root,key,value);
    

    /**
     *  使用 递归 实现向指定位置的结点（树）插入数据
     *      树根据key的大小排序插入数据，大的在右，小的在左
     * @param x 树的结点（从根节点开始），用于遍历
     * @param key   待插入数据的key
     * @param value 待插入数据的value
     * @return  返回实现插入的结点x给上一个put方法
     */
    public Node put(Node x,Key key,Value value) 
        if (x == null)
            N++;
            return new Node(key,value,null,null);
        
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0)
            //往右子树遍历
            x.right = put(x.right,key,value);
        else if (cmp < 0)
            //往左子树遍历
            x.left = put(x.left,key,value);
        else 
            //覆盖结点数据
            x.value = value;
        
        return x;
    

    //查询树中指定key对应的value
    public Value get(Key key)
        return get(root,key);
    

    //从指定的结点（树）中查找key对应的value
    public Value get(Node x,Key key)
        if (x == null)
            return null;
        

        int cmp = key.compareTo(x.key);
            if (cmp > 0)
                //往右子树遍历
                return get(x.right,key);
            
            if (cmp < 0)
                //往左子树遍历
                return get(x.left,key);
            else 
                return x.value;
            

    

    //删除指定key对应的结点
    public void delete(Key key)
        root = delete(root,key);
    

    /**
     *  通过递归实现树删除指定key的结点（改变指针域）
     *
     * @param x 树的结点（从根节点开始），用于遍历寻找目的结点，并实现指针域更改
     * @param key   目标结点对应的key
     * @return  返回新树给上一个delete方法
     */
    public Node delete(Node x,Key key)
        if (x == null)
            return null;
        

        //寻找目标结点
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0)
            //往右子树遍历
            return delete(x.right,key);
        else if (cmp < 0)
            return delete(x.left,key);
        else 
            /*
                目标结点的key等于当前结点的key，当前结点就是要删除的结点
                    1.当前结点右子树不存在，直接返回左子树
                    2.当前结点左子树不在，直接返回右子树
                    3.当前结点左右子树都在
                        3.1 找到右子树中key最小的结点
                        3.2 删除右子树中key最小的节点
             */
            if (x.right == null)
                return x.left;
            

            if (x.left == null)
                return x.right;
            

            //从右子树中找到key最小的结点
            Node minNode = x.right;
            while (minNode.left != null)
                minNode = minNode.left;
            
            /*
                删除右子树中最小的结点:
                    1.首先往右子树的左子树遍历找到右子树中的最小节点node
                    2.交换结点之间的指针域，实现删除
             */
            Node node = x.right;

            while (node.left != null)
                if (node.left.left == null)
                    node.left = null;
                else 
                    node = node.left;
                
            

            minNode.left = x.left;
            minNode.right = x.right;

            x = minNode;

            //个数-1
            N--;
        
        return x;
    

2.3 二叉树的遍历

前序遍历

先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树

遍历结果：A B D H I E J C F G

代码实现：
在二叉树类中添加方法

    private void preErgodic(Node node,List<Key> list)
        if (node == null)
            return;
        
        //将当前结点的key放入链表
        list.add(node.key);
        //先遍历左子树
        if (node.left != null)
            preErgodic(node.left,list);
        
        //再遍历左子树
        if (node.right != null)
            preErgodic(node.right,list);
        
    

测试代码：

    public static void main(String[] args) 
        BinaryTree<Integer,String > tree = new BinaryTree<>();

        tree.put(7,"张三");
        tree.put(4,"李四");
        tree.put(3,"王五");
        tree.put(5,"熊二");
        tree.put(9,"光头强");
        tree.put(6,"熊大");
        tree.put(8,"翠花");

        List<Integer> list = tree.preErgodic();
        for (int i:list)
            System.out.println(i + ":" + tree.get(i));
        
    

中序遍历

先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树

遍历结果：H D I B J E A F C G

代码实现：

    public List<Key> midErgodic()
        List<Key> list = new LinkedList<>();
        midErgodic(root,list);
        return list;
    

    private void midErgodic(Node node,List<Key> list)
        if (node == null)
            return;
        
        //先遍历左子树
        if (node.left != null)
            midErgodic(node.left,list);
        
        //将当前结点的key放入链表
        list.add(node.key);
        //再遍历右子树
        if (node.right != null)
            midErgodic(node.right,list);
        
    

后序遍历

先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

遍历结果： H I D J E B F G C A

代码实现：

    public List<Key> afterErgodic()
        List<Key> list = new LinkedList<>();
        afterErgodic(root,list);
        return list;
    

    private void afterErgodic(Node node,List<Key> list)
        if (node == null)
            return;
        

        //先遍历左子树
        if (node.left != null)
            afterErgodic(node.left,list);
        
        //再遍历右子树
        if (node.right != null)
            afterErgodic(node.right,list);
        
        //将key插入链表
        list.add(node.key);
    

层序遍历

从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值

遍历结果：A B C D E F G H I J

代码实现：
采用队列存取结点，先进先出，实现层序遍历
LinkedList实现了队列Queue接口，依旧使用队列存取结点

    //层序遍历
    public Queue<Key> layerErgodic()
        
        //遍历树，将key存入nodes
        Queue<Node> nodes = new LinkedList<>();
        //队列nodes中的数据出队存入keys
        Queue<Key> keys = new LinkedList<>();
        //入队
        nodes.offer(root);

        while (!nodes.isEmpty())
            //node作为遍历树的结点，从根节点开始
            Node node = nodes.poll();
            //key存入队列
            keys.offer(node.key);

            if (node.left != null)
                //左节点入队
                nodes.offer(node.left);
            
            if (node.right != null)
                //右结点入队
                nodes.offer(node.right);
            
        
        return keys;