级数收敛Trick

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了级数收敛Trick相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

级数收敛Trick

若:

∑ n = 1 ∞ u n \\sum\\limits_n=1^\\inftyu_n n=1un收敛。

∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n u n \\sum\\limits_n=1^\\infty(-1)^nu_n n=1(1)nun 不一定收敛。

总结如下:


一个常见的Trick:

两个数列: a n , b n , lim ⁡ n → ∞ a n = 0 a_n,b_n,\\lim\\limits_n\\rightarrow \\infty a_n=0 an,bn,nliman=0

则,若 ∑ n = 1 ∞ ∣ b n ∣ \\sum\\limits_n=1^\\infty |b_n| n=1bn 收敛,则 ∑ n = 1 ∞ a n 2 b n 2 \\sum\\limits_n=1^\\infty a_n^2b_n^2 n=1an2bn2 收敛。

对于 ∀ ϵ > 0 , ∃ N > 0 \\forall \\epsilon>0,\\exist N>0 ϵ>0,N>0 n > N 1 n>N_1 n>N1 ∣ a n − 0 ∣ < ϵ |a_n-0|<\\epsilon an0<ϵ ,取 ϵ = 1 \\epsilon =1 ϵ=1,则有: ∣ a n ∣ < 1 |a_n|<1 an<1

同理可证当 n > N 2 n>N_2 n>N2 ∣ b n ∣ < 1 |b_n|<1 bn<1

因此当 n > N 1 + N 2 n>N_1+N_2 n>N1+N2时有: 0 ≤ a n 2 b n 2 < b n 2 < ∣ b n ∣ × 1 = ∣ b n ∣ 0\\le a_n^2b_n^2<b_n^2<|b_n|\\times 1=|b_n| 0an2bn2<bn2<bn×1=bn ,由比较判别法证毕。

以上是关于级数收敛Trick的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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