级数收敛Trick
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了级数收敛Trick相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
级数收敛Trick
若：
∑ n = 1 ∞ u n \\sum\\limits_n=1^\\inftyu_n n=1∑∞un收敛。
则 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n u n \\sum\\limits_n=1^\\infty(-1)^nu_n n=1∑∞(−1)nun 不一定收敛。
总结如下：
一个常见的Trick：
两个数列： a n , b n , lim n → ∞ a n = 0 a_n,b_n,\\lim\\limits_n\\rightarrow \\infty a_n=0 an,bn,n→∞liman=0
则，若 ∑ n = 1 ∞ ∣ b n ∣ \\sum\\limits_n=1^\\infty |b_n| n=1∑∞∣bn∣ 收敛，则 ∑ n = 1 ∞ a n 2 b n 2 \\sum\\limits_n=1^\\infty a_n^2b_n^2 n=1∑∞an2bn2 收敛。
对于 ∀ ϵ > 0 , ∃ N > 0 \\forall \\epsilon>0,\\exist N>0 ∀ϵ>0,∃N>0 当 n > N 1 n>N_1 n>N1时 ∣ a n − 0 ∣ < ϵ |a_n-0|<\\epsilon ∣an−0∣<ϵ ，取 ϵ = 1 \\epsilon =1 ϵ=1，则有： ∣ a n ∣ < 1 |a_n|<1 ∣an∣<1。
同理可证当 n > N 2 n>N_2 n>N2， ∣ b n ∣ < 1 |b_n|<1 ∣bn∣<1。
因此当 n > N 1 + N 2 n>N_1+N_2 n>N1+N2时有： 0 ≤ a n 2 b n 2 < b n 2 < ∣ b n ∣ × 1 = ∣ b n ∣ 0\\le a_n^2b_n^2<b_n^2<|b_n|\\times 1=|b_n| 0≤an2bn2<bn2<∣bn∣×1=∣bn∣ ，由比较判别法证毕。
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