《算法零基础100讲》(第27讲) 字符串算法 - 高精度

Posted 2021-12-13 英雄哪里出来

文章目录

• 零、写在前面
• 一、概念定义
• • 1、高精度加法
  • 2、高精度乘法
• 二、题目描述
• 三、算法详解
• 四、源码剖析
• 五、推荐专栏
• 六、习题练习

零、写在前面

  这是《算法零基础100讲》 专栏打卡学习的第二十七天了。
  有不少同学已经不甘心只刷题了，「 解题报告 」 也已经陆续安排上了。每天都会有五六篇高质量的 「 解题报告 」 被我 「 加精 」。如果觉得自己有能力的，也可以来 「 万人千题 」 社区发布你的 「 解题报告 」。千万级流量，你我共同拥有，当然，不忘初心才是最重要滴。

一、概念定义

  高精度，是指当一个数无法用程序给定的类型进行表示时，利用数组进行模拟运算的算法。例如，整数12345678912345678912345已经超过了 $64$ 位整型，所以我们可以将它存储在数组中，如下：

$i$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
$a[i]$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5

  然后就是利用数组来模拟各种运算了。这里只介绍加法和乘法，减法 和 加法类似，除法需要用到二分枚举，暂不介绍。

1、高精度加法

  我们把数字按照数位存储到字符串中，加法运算是每一位对应相加，所以当两个字符串长度不一致时，需要对两个字符串进行从后往前遍历相加，为了方便计算，我们首先需要将它逆序，然后就可以顺序从前往后相加了，相加完毕后，需要处理进位，然后再将数位转换成字符。
总结为五步：
  1）加数逆序；
  2）模拟加法；
  3）处理进位；
  4）处理前导零；
  5）结果逆序；

char * addStrings(char * a, char * b){
    char *c;
    int lena = strlen(a);
    int lenb = strlen(b);
    int i, cap, now;
    int av, bv;
    int maxlen = max(lena, lenb);
    inverse(a);                           // (1)
    inverse(b);                           // (2)
    c = (char *)malloc( sizeof(char) * (maxlen + 2) );
    cap = 0;
    for(i = 0; i < maxlen; ++i) {
        av = (i < lena) ? (a[i]-'0') : 0; // (3)
        bv = (i < lenb) ? (b[i]-'0') : 0; // (4)
        now = (av + bv + cap);            // (5)
        cap = now / 10;                   // (6)
        c[i] = (now % 10) + '0';          // (7)
    }
    if(cap) {
        c[i] = '1';                       // (8)
        maxlen ++;
    }
    c[maxlen] = '\\0';
    inverse(c);                           // (9)
    return c;
}

• $(1)-(2)$ 分别对两个加数进行逆序存储；
• $(3)$ 第一个加数转换成整数的形式，高位不够补0；
• $(4)$ 第二个加数转换成整数的形式，高位不够补0；
• $(5)$ 两个加数相加，并且带上前一位的进位；
• $(6)$ 处理当前位的进位；
• $(7)$ 将数位转换成字符；
• $(8)$ 处理加法后产生的最高位的进位；
• $(9)$ 最后，再进行一次逆序，高位和低位互换；

2、高精度乘法

  乘法和加法类似，也是采用字符串存储，首先将两个乘数的数位进行逆序，根据乘法的定义，第 $i$ 位 和 第 $j$ 位相乘以后，作用的位是在 $i+j$ 位上，直接累加即可，最后再统一处理进位，消除前导零，并且处理正好是零的情况。总结为五步：
  1）乘数逆序；
  2）模拟乘法；
  3）处理进位；
  4）处理前导零；
  5）结果逆序；

char * multiply(char * a, char * b){
    int i, j, num;
    int lena = strlen(a);
    int lenb = strlen(b);
    int len = lena + lenb;
    int *cnum = (int *)malloc( sizeof(int) * (len+5) );
    char *c = (char *)malloc( sizeof(char) * (len+5) );
    memset( cnum, 0, sizeof(int) * (len+5) );
    inverse(a);                      // (1)
    inverse(b);                      // (2)
    for(i = 0; i < lena; ++i) {
        for(j = 0; j < lenb; ++j) {  // (3)
            cnum[i+j] += (a[i] - '0') * (b[j] - '0');
        }
    }
    for(i = 0; i < len; ++i) {       // (4)
        cnum[i+1] += cnum[i] / 10;
        cnum[i] %= 10;
    }
    ++len;
    while(len > 1 && !cnum[len-1]) { // (5)
        --len;
    }
    for(i = 0; i < len; ++i) {       // (6)
        c[i] = cnum[i] + '0';
    }
    c[len] = '\\0';
    inverse(c);                      // (7)
    return c;
}

• $(1)-(2)$ 分别对两个乘数进行逆序存储；
• $(3)$ 模拟乘法；
• $(4)$ 处理进位；
• $(5)$ 处理前导零；
• $(6)$ 转换成字符；
• $(7)$ 再进行一次逆序，高位和低位互换；

二、题目描述

  给定两个二进制字符串，返回它们的和（用二进制表示）。输入为 非空 字符串且只包含数字 1 和 0。

三、算法详解

  模拟高精度加法，进位时进行模二处理即可。

四、源码剖析

void swap(char *a, char *b) {          
    char tmp = *a;
    *a = *b;
    *b = tmp;
}

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

void inverse(char *a) {                // (1)
    int i, len = strlen(a);
    for(i = 0; i < len/2; ++i) {
        swap(&a[i], &a[len-1-i]);
    }
}

char * addBinary(char *a, char *b){    // (2)
    char *c;
    int lena = strlen(a);
    int lenb = strlen(b);
    int i, cap, now;
    int av, bv;
    int maxlen = max(lena, lenb);
    inverse(a);
    inverse(b);
    c = (char *)malloc( sizeof(char) * (maxlen + 2) );
    cap = 0;
    for(i = 0; i < maxlen; ++i) {
        av = (i < lena) ? (a[i]-'0') : 0;
        bv = (i < lenb) ? (b[i]-'0') : 0;
        now = (av + bv + cap);
        cap = now / 2;
        c[i] = (now % 2) + '0';
    }
    if(cap) {
        c[i] = '1';
        maxlen ++;
    }
    c[maxlen] = '\\0';
    inverse(c);
    return c;
}

• $(1)$ 实现字符串逆序；
• $(2)$ 类似上文提到的高精度加法；

五、推荐专栏

🧡《C语言入门100例》🧡
字符串翻转

六、习题练习

序号	题目链接	难度
1	千位分隔数	★☆☆☆☆
2	字符串转化后的各位数字之和	★☆☆☆☆
3	字符串中第二大的数字	★☆☆☆☆
4	最小时间差	★☆☆☆☆
5	罗马数字转整数	★★☆☆☆
6	整数转罗马数字	★★☆☆☆
7	字符串压缩	★★☆☆☆
8	字符串相加	★★★☆☆
9	二进制求和	★★★☆☆
10	检查某单词是否等于两单词之和	★★★☆☆
11	字符串相乘	★★★☆☆
12	数字转英文	★★★☆☆

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