《算法零基础100讲》(第28讲) 递推问题
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了《算法零基础100讲》(第28讲) 递推问题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
零、写在前面
这是《算法零基础100讲》 专栏打卡学习的第二十八天了。
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一、概念定义
递推 和 数列关系紧密，一般就是由前几项的值经过一些运算，得到当前项的值。
二、题目描述
长度为 n ( 1 ≤ n < 40 ) n(1 \\le n \\lt 40) n(1≤n<40) 的只由
'A'、'C'、'M'三种字符组成的字符串（可以只有其中一种或两种字符，但绝对不能有其他字符）且禁止出现M相邻的情况，问这样的串有多少种？
三、算法详解
考虑长度为
n
n
n，且以'A'结尾的串有
f
[
n
]
[
0
]
f[n][0]
f[n][0] 种、以'C'结尾的串有
f
[
n
]
[
1
]
f[n][1]
f[n][1] 种、以'M'结尾的串有
f
[
n
]
[
2
]
f[n][2]
f[n][2] 种，那么答案就是
∑
i
=
0
2
f
[
n
]
[
i
]
\\sum_{i=0}^{2} f[n][i]
∑i=02f[n][i]。
那么，我们来想一下怎么进行递推。
如果第
n
n
n 个结尾的字符是'A'或者'C'，那么显然， 第
n
−
1
n-1
n−1 个字符可以是任意字符；而如果第
n
n
n 个结尾的字符是'M'，那么第
n
−
1
n-1
n−1 个字符只能是是'A'或者'C'。所以可以得到递推公式如下：
f
[
n
]
[
0
]
=
f
[
n
−
1
]
[
0
]
+
f
[
n
−
1
]
[
1
]
+
f
[
n
−
1
]
[
2
]
f
[
n
]
[
1
]
=
f
[
n
−
1
]
[
0
]
+
f
[
n
−
1
]
[
1
]
+
f
[
n
−
1
]
[
2
]
f
[
n
]
[
2
]
=
f
[
n
−
1
]
[
0
]
+
f
[
n
−
1
]
[
1
]
f[n][0] = f[n-1][0] + f[n-1][1] + f[n-1][2] \\\\ f[n][1] = f[n-1][0] + f[n-1][1] + f[n-1][2] \\\\ f[n][2] = f[n-1][0] + f[n-1][1]
f[n][0]=f[n−1][0]+f[n−1][1]+f[n−1][2]f[n][1]=f[n−1][0]+f[n−1][1]+f[n−1][2]f[n][2]=f[n−1][0]+f[n−1][1]
到这一步，我们就可以利用程序求解了，但是，还可以化解，由于
∑
i
=
0
2
f
[
n
]
[
i
]
=
f
[
n
]
[
0
]
+
f
[
n
]
[
1
]
+
f
[
n
]
[
2
]
\\sum_{i=0}^{2} f[n][i] = f[n][0] + f[n][1] + f[n][2]
i=0∑2f[n][i]=f[n][0]+f[n][1]+f[n][2] 于是，可以得出：
f
[
n
]
[
0
]
=
∑
i
=
0
2
f
[
n
−
1
]
[
i
]
f
[
n
]
[
1
]
=
∑
i
=
0
2
f
[
n
−
1
]
[
i
]
f
[
n
]
[
2
]
=
∑
i
=
0
2
f
[
n
−
2
]
[
i
]
+
∑
i
=
0
2
f
[
n
−
2
]
[
i
]
f[n][0] = \\sum_{i=0}^{2} f[n-1][i] \\\\ f[n][1] = \\sum_{i=0}^{2} f[n-1][i] \\\\ f[n][2] = \\sum_{i=0}^{2} f[n-2][i] + \\sum_{i=0}^{2} f[n-2][i]
f[n][0]=i=0∑2f[n−1][i]f[n][1]=i=0∑2f[n−1][i]f[n][2]=i=0∑2f[n−2][i]+i=0∑2f[n−2][i] 从而得到：
∑
i
=
0
2
f
[
n
]
[
i
]
=
2
∗
(
∑
i
=
0
2
f
[
n
−
1
]
[
i
]
+
∑
i
=
0
2
f
[
n
−
2
]
[
i
]
)
\\sum_{i=0}^{2} f[n][i] = 2 * (\\sum_{i=0}^{2} f[n-1][i] + \\sum_{i=0}^{2} f[n-2][i])
i=0∑2f[n][i]=2∗(i=0∑2f[n−1][i]+i=0∑2f[n−2][i]) 令
g
[
n
]
=
∑
i
=
0
2
f
[
n
]
[
i
]
g[n] = \\sum_{i=0}^{2} f[n][i]
g[n]=i=0∑2f[n][i] 原式化解为
g
[
n
]
=
2
∗
(
g
[
n
−
1
]
+
g
[
n
−
2
]
)
g[n] = 2 *(g[n-1] + g[n-2])
g[n]=2∗(g[n−1]+g[n−2]) 计算首项
g
[
1
]
=
3
,
g
[
2
]
=
8
g[1] = 3, g[2] = 8
g[1]=3,g[2]=8，递推求解。
四、源码剖析
long long getACM(int n) {
long long g[40];
g[1] = 3, g[2] = 8;
for(i = 3; i <= n; i++) {
g[i] = 2 * (g[i-1] + g[i-2]);
}
return g[n];
}
五、推荐专栏
六、习题练习
| 序号 | 题目链接 | 难度 |
|---|---|---|
| 1 | 斐波那契数列 | ★☆☆☆☆ |
| 2 | 太波纳奇数列 | ★☆☆☆☆ |
| 3 | 帕斯卡三角形 I | ★☆☆☆☆ |
| 4 | 帕斯卡三角形 II | ★☆☆☆☆ |
| 5 | 爬楼梯 | ★☆☆☆☆ |
| 6 | 约瑟夫环 | ★☆☆☆☆ |
| 7 | 字符串转化后的各位数字之和 | ★★☆☆☆ |
以上是关于《算法零基础100讲》(第28讲) 递推问题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章